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DE LAGRANGE AVEC D’ALEMBERT

forme

$\left[k+\mathrm {A} (f+hx)^{\lambda }\right]^{p}+\left[k'+\mathrm {A} '(f+hx)^{\lambda '}\right]^{p'}+\ldots ,$

$k,\,k'$ étant des constantes quelconques et $p\lambda ,\,p'\lambda '$ ayant les conditions susdites.

4^o Au lieu de ces termes je pourrai mettre $c$ (nombre dont le $\log =1$) élevé à des puissances dont ces termes sont les exposants.

5^o Je pourrai de même former une quantité où tous ces termes, exponentiels ou non, seront ajoutés, soustraits, multipliés, divisés les uns par les autres comme on voudra. Dans tous ces cas, j’aurai la formule

$\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right)=0.$

6^o Pour avoir maintenant le cas où le deuxième membre est $2\mathrm {M} {\sqrt {-1}},$ je n’ai qu’à prendre tant de termes que je voudrai,

$a\log {\frac {\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)^{m}}{\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)^{m}}}+b\log {\frac {\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)^{n}}{\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)^{n}}},$

que je ferai égaux à $2\mathrm {M} {\sqrt {-1}},$ ce qui donne

$ma(\omega \pm 2n\pi )+nb(\omega \pm 2n'\pi )+\ldots =2\mathrm {M} \ldots ,$

et ainsi du reste. Je ne doute pas même que cette méthode ne puisse être encore poussée plus loin, et je vois clairement qu’on résoudrait aussi le problème si l’on avait

$a\varphi \left(bx+cy{\sqrt {-1}}\right)+f\varphi \left(cx+gy{\sqrt {-1}}\right)=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}},$

et, en général,

$a\varphi (bx+cy)+f\varphi (cx+gy)=2\mathrm {M} ,$

$a,\,b,\,c,\,f,\,g,\,\mathrm {M}$ étant quelconques, réels ou imaginaires.

Je ne suis point éloigné de penser, comme vous, que le problème de

$\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right)=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}$

peut se résoudre en général ; on peut même en donner une espèce de démonstration en supposant $\varphi x=q$ et remarquant que l’équation devient alors

${\frac {y\,dq}{dx}}-{\frac {y^{3}d^{3}q}{2.3dx^{3}}}-\ldots =2\mathrm {M} ,$