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qu’elle puisse avoir lieu dans la nature, et il me semble qu’il serait sans cela presque impossible de rendre raison des phénomènes des cordes sonores, qui sont d’ailleurs si bien d’accord avec la théorie. Au reste, j’ai trouvé, par une méthode tout à fait directe, que la condition dont nous parlons ne peut avoir lieu dans une courbe à équation, à moins qu’elle ne soit représentée par

$y=\alpha \sin {\frac {\pi x}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi x}{a}}+\ldots .$

L’équation

$d\mathrm {P} =(-dz-d\varepsilon )\sin \pi -d\theta ,$

que je vous ai objectée, n’est pas chez moi une simple hypothèse, mais une conséquence de mes calculs ; d’ailleurs cette équation n’est qu’approchée, et elle suppose $\pi$ presque droit ; ainsi votre difficulté tombe d’elle-même. Au reste, si mes calculs donnent des arcs de cercle, je crois que c’est moins un vice particulier de ma théorie qu’une imperfection commune à ces sortes de solutions par approximation mais, au moyen de ma nouvelle méthode, j’espère pouvoir traiter ce sujet d’une manière plus exacte que je ne l’ai fait.

Votre théorème sur

$\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)^{x'+y'{\sqrt {-1}}}=\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)^{x'+y'{\sqrt {-1}}}$

et les conséquences que vous en tirez m’ont enchanté ; ce que je vous ai envoyé là-dessus n’est qu’un cas particulier d’une solution générale par laquelle on peut trouver $\varphi (x)$ dans cette équation,

$a\varphi (x+\alpha y)+b\varphi (x+\beta y)+\ldots =\mathrm {X} ,$

$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x,$ et $y=\mathrm {A+B} x\,;$ et cette solution elle-même n’est aussi qu’un cas particulier d’une méthode d’intégration par laquelle je tire la valeur complète de $y$ de cette équation du degré $m,$

$\mathrm {P} y+\mathrm {Q} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {R} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots =\mathrm {X} ,$

($\mathrm {P,\,Q,\,\ldots ,\,X}$ étant des fonctions quelconques de $x$), en supposant que