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Retranchant la différentielle complète

${\frac {p\,dp+q\,dq+r\,dr}{dx}}dx+{\frac {p\,dp+q\,dq+r\,dr}{dy}}dy+{\frac {p\,dp+q\,dq+r\,dr}{dz}}dz,$

on aura la quantité

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}&dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)(qdx-pdy)\\&+\left({\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}\right)(rdx-pdz)+\left({\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\right)(rdy-qdz),\end{aligned}}$

qui devra être une différentielle complète.

Soient $p',q',r'$ les valeurs de $p,\,q,\,r$ dans un instant quelconque où $t=t'\,;$ il est clair que pour $t=t'+\theta$ ($\theta$ étant fort petit) on aura

${\begin{aligned}p=&p'+p''\theta +p'''\theta ^{2}+\ldots ,\\q=&q'+q''\theta \,+q'''\theta ^{2}+\ldots ,\\r=&r'\,+r''\theta +r'''\theta ^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

$p',\,p'',\,\ldots ,\,q',\,q'',\,\ldots ,\,r',\,r'',\,\ldots$ étant des fonctions de $x,\,y,\,z$ et de la quantité $t',$ qu’on regarde maintenant comme constante. Faisant ces substitutions dans la quantité précédente et prenant $dt=d\theta ,$ on aura une transformée de cette forme,

$\alpha =\beta \theta +\gamma \theta ^{2}+\ldots ,$

en supposant

${\begin{aligned}\alpha =&p''dx+q''dy+r''dz\\&+\left({\frac {dp'}{dy}}-{\frac {dq'}{dx}}\right)(q'dx-p'dy)+\left({\frac {dp'}{dz}}-{\frac {dr'}{dx}}\right)(r'dx-p'dz)\\&+\left({\frac {dq'}{dz}}-{\frac {dr'}{dy}}\right)(r'dy-q'dz),\\\\\beta =&2(p'''dx+q'''dy+r'''dz)\\&+\left({\frac {dp'}{dy}}-{\frac {dq'}{dx}}\right)(q''dx-p''dy)+\left({\frac {dp''}{dy}}-{\frac {dq''}{dx}}\right)(q'dx-p'dy)\\&+\left({\frac {dp'}{dz}}-{\frac {dr'}{dx}}\right)(r''dx-p''dz)\,+\left({\frac {dp''}{dz}}-{\frac {dr''}{dx}}\right)(r'dx-p'dz)\\&+\left({\frac {dq'}{dz}}-{\frac {dr'}{dy}}\right)(r''dy-q''dz)\;+\left({\frac {dq''}{dz}}-{\frac {dr''}{dy}}\right)(r'dy-q'dz),\end{aligned}}$