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DE LAGRANGE AVEC D’ALEMBERT

${\begin{aligned}=&3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right)\\&+\left({\frac {dp'}{dy}}-{\frac {dq'}{dx}}\right)(q'''dx-p'''dy)+\left({\frac {dp''}{dy}}-{\frac {dq''}{dx}}\right)(q''dx-p''dy)\\&+\left({\frac {dp'''}{dy}}-{\frac {dq'''}{dx}}\right)(q'dx-p'dy)+\left({\frac {dp'}{dz}}-{\frac {dr'}{dx}}\right)(r'''dx-p'''dz)+\ldots ,\end{aligned}}$

et il faudra que les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ soient chacune une différentielle complète ; donc : 1^o si $p'dx+q'dy+r'dz$ est complète, on aura

donc

$\alpha =p''dx+q''dy+r''dz,$

différentielle complète ; donc : 2^o on aura

${\frac {dp''}{dy}}-{\frac {dq''}{dx}}=0,\qquad {\frac {dp''}{dz}}-{\frac {dr''}{dx}}=0,\qquad {\frac {dq''}{dy}}=0\,;$

donc

$\beta =2(p'''dx+q'''dy+r'''dz),$

différentielle complète ; donc : 3^o, etc.

Si donc $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ est intégrable lorsque $t=t',$ elle le sera depuis $t=t'$ jusqu’à $t=t'+\theta ,$ et on prouvera de même, en mettant $t'+\theta$ à la place de $t',$ qu’elle sera intégrable jusqu’à $t=t'+2\theta ,$ et ainsi de suite. Donc, etc. Mais, si dans un seul instant cette quantité n’est pas intégrable, elle ne le sera jamais, car, si elle l’était dans un autre instant, elle le serait aussi dans le premier.

Lorsque le mouvement commence du repos, alors on a

$p=0,\qquad q=0,\qquad r=0$

lorsque $t=0\,;$ donc $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ est nécessairement toujours intégrable. Mais, lorsqu’on imprime au fluide des vitesses primitives, tout dépend de la nature de ces vitesses. Si elles sont produites par une impulsion sur la surface du fluide, elles seront nécessairement telles, que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ sera intégrable ; donc cette quantité le sera toujours.

Le résultat de mes autres recherches consiste à prouver qu’on peut