Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/183

donc, multipliant par $2n+1$ et tirant la racine carrée, on aura

${\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}={\frac {2.4.6\ldots 2n}{1.3.5\ldots (2n-1)}}\,;$

donc, lorsque $n=\infty ,$ on aura

$\mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}=0.$

Il est bon de remarquer que, puisque nous avons trouvé dans le Corollaire cité pour la probabilité $\mathrm {P} ^{n}$ l’expression

${\frac {1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots }{4^{n}}},$

on aura, en comparant cette expression avec la précédente, l’équation

$1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots ={\frac {1.2.3\ldots (2n-1)}{1.2.3\ldots n}}2^{n},$

laquelle est d’autant plus remarquable qu’elle ne paraît pas aisée à démontrer à priori.

7. Remarque III. — Par les formules de la Remarque I, on aura en général

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {(2n-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}+(n-1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{n(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {(2n+1)\mathrm {P} ^{(n)}+n(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{(n+1)(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+2)}&={\frac {(2n+3)\mathrm {P} ^{(n+1)}+(n+1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n)}}{(n+2)(r+1)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où les exposants $n-2,n-1,n,$ etc., de $\mathrm {P}$ ne dénotent pas des puissances, mais seulement le quantième du rang. Or, si $n$ est un nombre assez grand, il est clair que les fractions ${\frac {2n-1}{n}},{\frac {2n+1}{n+1}},{\frac {2n+3}{n+2}},$ seront à très-peu près égalés à $2,$ et que les fractions ${\frac {n-1}{n}},{\frac {n}{n+1}},{\frac {n+1}{n+2}},$