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blèmes précédents ${\sqrt {bc}}$ à la place de $b,$ et ensuite $x{\sqrt {\frac {b}{c}}}$ à la place de $x.$ Du reste, nous allons traiter ce cas d’une manière beaucoup plus générale dans le Problème suivant.

Problème III

13. Supposant que chaque observation soit sujette à une erreur d’une unité en moins et à une erreur de $r$ unités en plus, et que le nombre des cas qui peuvent donner $0,-1,+r$ d’erreur soit respectivement $a,b,c,$ on demande quelle est la probabilité que l’erreur moyenne de plusieurs observations sera renfermée dans des limites données.

Soit $n$ le nombre des observations dont on veut prendre le milieu : on formera la puissance $n$^ième du trinôme $a+{\frac {b}{x}}+cx^{r},$ et le coefficient d’une puissance quelconque $x^{\mu }$ dénotera le nombre des cas où la somme des erreurs sera $\mu ,$ et par conséquent où l’erreur moyenne sera ${\frac {\mu }{n}}.$ Considérons donc la quantité

$\left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n},$

laquelle se réduit à

${\frac {\left[b+x\left(a+cx^{r}\right)\right]^{n}}{x^{n}}},$

et l’on aura, comme on sait,

$\left[b+x\left(a+cx^{r}\right)\right]^{n}=b^{n}+nb^{n-1}x\left(a+cx^{r}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}b^{n-2}x^{2}\left(a+cx^{r}\right)^{2}+\ldots ,$

d’où il est facile de voir que le coefficient d’une puissance quelconque $x^{r}$ sera

${\begin{aligned}&{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+1)}{2.3\ldots s}}b^{n-s}a^{s}\\&\quad +{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+r)}{2.3\ldots (s-r)}}{\frac {s-2r}{1}}b^{n-s+r}a^{s-r}c\\&\quad +{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+2r)}{2.3\ldots (s-2r)}}{\frac {(s-2r)(s-2r-1)}{1.2}}b^{n-s+2r}a^{s-2r}c^{2}\\&\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$