Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/206

2^o Si on prend le logarithme de $\mathrm {V} ,$ on aura

$\log \mathrm {V} =\alpha \log \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)+\beta \log \left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)+\gamma \log \left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)+\ldots ,$

mais

$\log \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {x}{\alpha }}-{\frac {x^{2}}{2\alpha ^{2}}}+\ldots \,;$

donc, à cause de $x+y+z+\ldots =0,$ on aura à très-peu près

$\log \mathrm {V} =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}+\ldots \right),$

et de là

$\mathrm {V} =e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}+\ldots \right)}.$

Soient maintenant

$x=\xi {\sqrt {n}},\quad y=\psi {\sqrt {n}},\quad z=\zeta {\sqrt {n}},\ldots ,$

et

${\frac {\alpha }{n}}=\mathrm {A} ,\quad {\frac {\beta }{n}}=\mathrm {B} ,\quad {\frac {\gamma }{n}}=\mathrm {C} ,\ldots ,$

on aura

$\xi +\psi +\zeta +\ldots =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A+B+C} +\ldots =1\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {1}{(\pi n)^{\frac {m-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {ABC} \ldots }}}}\\\mathrm {V} =&e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }\end{aligned}}$

Or, comme l’incrément ou la différence des quantités $x,y,z,\ldots ,$ est $1,$ la différence des variables $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ sera ${\frac {1}{\sqrt {n}}},$ et par conséquent infiniment petite ; de sorte que, si l’on appelle cette différence $d\theta ,$ on aura

$\mathrm {P} ={\frac {d\theta ^{m-1}}{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}.$

Donc

$\mathrm {PV} ={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }d\theta ^{m-1}}{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}.$