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Donc, si l’on intègre la différentielle

${\frac {d\theta ^{m-1}}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }}}$

$m-1$ fois, en mettant d’abord à la place de $\xi$ sa valeur $-\psi -\zeta -\ldots ,$ et faisant varier ensuite successivement les variables $\psi ,\zeta ,\ldots ,$ de la même différentielle $d\theta ,$ et qu’on complète l’intégrale en sorte que les valeurs de $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ s’étendent depuis $-\rho$ jusqu’à $\rho$ (en faisant $r=p{\sqrt {n}}$), on aura, en nommant cette intégrale $\mathrm {R} ,$ la quantité

${\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}$

pour la probabilité que les valeurs de $a,b,c,\ldots$ seront exactes à ${\frac {\rho s}{\sqrt {n}}}$ près.

Soit, par exemple, $m=2,$ en sorte que l’on n’ait trouvé que deux erreurs différentes, dont l’une ait été répétée $\alpha$ fois et l’autre $\beta$ fois, dans un nombre très-grand $n$ de vérifications de l’instrument ; en ce cas il n’y aura qu’une seule intégration à faire, et la différentielle à intégrer sera, en mettant$-\psi$ à la place de $\xi ,$ et faisant $d\theta =d\psi ,$

${\frac {d\psi }{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \psi ^{2}}}},$

laquelle n’est intégrable par aucune des méthodes connues, à moins qu’on ne réduise en série la quantité exponentielle $e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \psi ^{2}}.$ De cette manière on aura la différentielle

$d\psi \mathrm {\left(1-K\psi ^{2}+{\frac {K^{2}\psi ^{4}}{2}}-{\frac {K^{3}\psi ^{6}}{2.3}}+\ldots \right)} ,$

en faisant, pour abréger, $\mathrm {K} =\mathrm {\frac {A+B}{2AB}} \,;$ de sorte que l’intégrale sera

$\psi -\mathrm {{\frac {K\psi ^{3}}{3}}+{\frac {K^{2}\psi ^{5}}{2.5}}-{\frac {K^{3}\psi ^{7}}{2.3.7}}} +\ldots .$