Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/208

Donc

$\mathrm {R} =2\left(\rho -\mathrm {{\frac {K\rho ^{3}}{3}}+{\frac {K^{2}\rho ^{5}}{2\times 5}}-{\frac {K^{3}\rho ^{7}}{2.3\times 7}}} +\ldots \right)\,;$

donc

$\mathrm {\frac {R}{\sqrt {\pi AB}}}$

exprimera la probabilité que les valeurs de $a$ et $b$ soient renfermées entre ces limites

$s\left(\mathrm {A} \pm {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}\right)\quad {\text{et}}\quad s\left(\mathrm {B} \pm {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}\right),$

c’est-à-dire que les facilités des erreurs qui se sont trouvées répétées $\alpha$ et $\beta$ fois, lesquelles sont proportionnelles à ${\frac {a}{s}}$ et ${\frac {b}{s}},$ ne s’écartent pas des quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ données par les observations, d’une quantité plus grande que ${\frac {\rho }{\sqrt {n}}}.$

Si l’on fait, pour plus de simplicité, $\rho =\mu \mathrm {\sqrt {AB}} ,$ on aura $\mathrm {K} ={\frac {\mu ^{2}}{2\rho ^{2}}},$ à cause de $\mathrm {A+B} =1,$ et la probabilité dont il s’agit sera exprimée de cette manière

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(\mu -{\frac {\mu ^{3}}{2\times 3}}+{\frac {\mu ^{5}}{2.4\times 5}}-{\frac {\mu ^{7}}{2.4.6\times 7}}+\ldots \right).$

Donc, si l’on suppose $\mu =1,$ on aura la série

$1-{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{2.4\times 5}}-{\frac {1}{2.4.6\times 7}}+\ldots ,$

dont la somme est à très-peu près $0{,}855624\,;$ de sorte que la probabilité cherchée sera à peu près

${\frac {1{,}611248}{\sqrt {\pi }}}=0{,}682688.$

Ainsi, on pourra dans ce cas parier avec avantage que, en supposant les facilités des erreurs respectivement égales à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on ne se trom-