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pera pas de la quantité $\mu {\sqrt {\frac {\mathrm {AB} }{n}}},$ qui, à cause de $n$ très-grand, est nécessairement infiniment petite.

Il serait beaucoup plus difficile de trouver la valeur de $\mathrm {R}$ si les variables $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ étaient plus de deux, surtout à cause que l’intégration doit être telle, qu’elle n’embrasse que les valeurs de ces mêmes variables qui sont comprises entre les limites$-\rho$ et $+\rho \,;$ mais on pourra, dans ces cas, se servir de l’approximation que nous avons donnée dans le numéro précédent.

Pour cela, on remarquera que puisque nous avons fait $r=\rho {\sqrt {n}},$ et que $n$ est supposé fort grand, le nombre $r$ devra être fort grand aussi ; de sorte qu’on aura, à très-peu près,

$\mathrm {T} ={\frac {r^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}\left[m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots \right],$

en continuant cette série jusqu’à ce que quelqu’un des nombres $m-2,m-4,\ldots$ devienne négatif : donc on aura

$\mathrm {PT} =\left({\frac {\rho }{\sqrt {\pi }}}\right)^{m-1}{\frac {m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\cfrac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)\mathrm {\sqrt {ABC}} }},$

et il n’y aura plus qu’à multiplier cette quantité par $\mathrm {W} ,$ c’est-à-dire par la valeur moyenne, ou si l’on veut par la plus petite valeur de $\mathrm {V}$. Or, comme on a

$\mathrm {V} ={\frac {1}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }}},$

il est clair que la plus petite valeur de $\mathrm {V}$ sera celle où la quantité $\mathrm {{\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}} +\ldots$ sera la plus grande ; et il est facile de voir que cela arrivera en prenant $\xi =\rho ,\ \psi =-\rho ,\ \zeta =0,\ldots ,$ à cause de $\xi +\psi +\zeta +\ldots =0,$ et supposant que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ soient les plus petites de toutes les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots \,;$ ainsi, on aura

$\mathrm {W} ={\frac {1}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \rho ^{2}}}}.$