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de sorte que le coefficient cherché sera représenté par la série

${\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\cfrac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +{\cfrac {3.4\ldots (n+1)}{a^{n+2}}}\mathrm {P} +\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}}.$

Dénotons par $\mathrm {X} '$ la somme de tous les termes de la valeur de $\mathrm {X} ,$ où les puissances de $x$ ne sont pas plus hautes que $x^{\mu },$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {X} '=\mathrm {M} x^{\mu }+\mathrm {N} x^{\mu -1}+\mathrm {P} x^{\mu -2}+\ldots \,;$

divisant par $x^{\mu +1},$ on aura

${\frac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}={\frac {\mathrm {M} }{x}}+{\frac {\mathrm {N} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} }{x^{3}}}+\ldots ,$

donc, différentiant $n-1$ fois et faisant ensuite $x=a,$ on aura

$\pm {\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}}={\frac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\frac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +\ldots ,$

le signe supérieur étant pour le cas où $n$ est impair, et l’inférieur pour celui où $n$ est pair.

Donc, le coefficient cherché de la puissance $x^{\mu }$ sera égal à ce que devient la quantité

${\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}},$

lorsqu’on y fait $x=a.$

24. Remarque. — Si l’on divise la quantité $\mathrm {X}$ par et qu’on en rejette ensuite tous les termes où il y aura des puissances positives de $x,$ il est visible qu’on aura la valeur de ${\frac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\,;$ donc, à la place de la quantité $\mathrm {X} '$ on peut prendre la quantité même $\mathrm {X} ,$ en ayant soin de rejeter les termes dont nous venons de parler ; de cette manière on aura, pour