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l’expression du coefficient cherché de $x^{\mu }$, la quantité

${\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}},$

en rejetant dans cette quantité, avant ou après les différentiations, toutes les puissances positives de $x,$ et faisant ensuite $x=a.$

25. Corollaire.. — Supposons qu’on demande le coefficient de $x^{\mu }$ dans la série

$x^{-\alpha }+\ldots +x^{-2}+x^{-1}+x^{0}+x^{1}+x^{2}+\ldots ++x^{\beta }$

élevée à la puissance $n.$

Suivant les règles ordinaires de la sommation des progressions géométriques, on trouve que la somme de cette série est représentée par

${\frac {x^{-\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)}{1-x}},$

de sorte que la puissance $n$^ième de la même série sera égale à

${\frac {x^{-n\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)^{n}}{(1-x)^{n}}}.$

Comparant donc cette formule avec celle du Lemme précédent, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&x^{-n\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)^{n}\\=&x^{-n\alpha }-nx^{-(n-1)\alpha +\beta +1}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{-(n-2)\alpha +2(\beta +1)}\\&-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}x^{-(n-3)\alpha +3(\beta +1)}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, divisant par $x^{\mu +1}$ et faisant, pour abréger

$n\alpha +\mu =\pi ,\quad \alpha +\beta +1=\rho ,$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}=&x^{-(\pi +1)}-nx^{-(\pi +1-\rho )}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{-(\pi +1-2\rho )}\\&-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}x^{-(\pi +1-3\rho )}+\ldots .\end{aligned}}$