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et par conséquent, en différentiant $n-1$ fois,

$(-1)^{n-1}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}}$

${\begin{aligned}=&(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1)x^{-(\pi +n)}\\&-n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )x^{-(\pi +n-\rho )}\\&+{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )x^{-(\pi +n-2\rho )}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On rejettera donc de cette série les termes où les exposants de $x$ se trouveront positifs, c’est-à-dire que si $s$ est le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que ${\frac {\pi +n}{2}},$ on continuera la série seulement jusqu’au terme $s$^ième ; ou bien il suffira de la continuer jusqu’à ce que quelqu’un des premiers facteurs $\pi +1,\pi +1-\rho ,\ldots$ devienne négatif ; ensuite on fera $x=1$ et on divisera le tout par $1.2.3\ldots (n-1)\,;$ on aura ainsi la valeur du coefficient cherché, laquelle sera par conséquent

${\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1){\biggr .}\\&\quad -n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )\\&\quad -{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}(\pi +1-3\rho )(\pi +2-3\rho )\ldots (\pi +n-1-3\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

De là on tire la solution du Problème suivant.

Problème VII.

26. On a plusieurs observations dans chacune desquelles on suppose quon ait pu se tromper également d’une quelconque de ces quantités $-\alpha ,\ldots ,$$-2,-1,0,1,2,\ldots ,\beta \,;$ on demande quelle est la probabilité