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ensuite l’équation (K) étant multipliée par $\mathrm {P} dx,$ et ensuite intégrée en regardant $y$ comme constante, donnera, à cause de $\mathrm {P} dx=d\mathrm {Z} ,$

$\mathrm {\frac {P^{2}X}{T^{2}}} +\int {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}\mathrm {\frac {P}{Q}} dx=2\Phi (\mathrm {Z} )+\Pi (y)\,;$

mais

${\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}={\frac {1}{\mathrm {T} ^{2}}}{\frac {d\mathrm {Q^{2}Y} }{dy}}-2\mathrm {\frac {Q^{2}Y}{T^{3}}} {\frac {d\mathrm {T} }{dy}}\,;$

donc on aura

${\begin{aligned}\int {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}\mathrm {\frac {P}{Q}} dx=&{\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\mathrm {Q^{2}Y} }{dy}}\int {\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}-2\mathrm {QY} \int \mathrm {\frac {P}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {T} }{dy}}dx\\=&{\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\mathrm {\left(Q^{2}Y\int {\cfrac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)} }{dy}}\,;\end{aligned}}$

de sorte que l’équation précédente deviendra

$\mathrm {\frac {P^{2}X}{T^{2}}} +{\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\mathrm {\left(Q^{2}Y\int {\cfrac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)} }{dy}}=2\Phi (\mathrm {Z} )+\Pi (y),$

laquelle étant multipliée par $\mathrm {Q} dy,$ et intégrée derechef en regardant $x$ comme constante, donnera, à cause de $d\mathrm {Z} =\mathrm {Q} dy,$

$\mathrm {P^{2}X} \int {\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {T} ^{2}}}+\mathrm {Q^{2}Y} \int {\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}=2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} +\Gamma (x)+\Delta (y),$

$\Gamma (x)$ et $\Delta (y)$ étant des fonctions quelconques de $x$ et de $y.$

Or, puisque $\mathrm {T} =\Psi \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right),$ si l’on suppose en général

$\Sigma (p)=-\int {\frac {dp}{\left[\Psi (p)\right]^{2}}},$

on aura

$\int {\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}=-\Sigma \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)$

et

$\int {\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {T} ^{2}}}=\Sigma \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)\,;$