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et supposons que, par rapport au lieu $\mathrm {L}$ de la Terre,

la distance apparente de l’astre $\mathrm {V}$ au premier méridien soit

$\mathrm {Q} '\quad \qquad$

la déclinaison apparente

$\mathrm {P} '\quad \qquad$

on aura, en nommant $\mathrm {I}$ la parallaxe horizontale de cet astre, en sorte que $\mathrm {I} ={\frac {\rho }{\mathrm {R} }},$

${\begin{aligned}\sin \mathrm {P} '=&{\frac {\sin \mathrm {P-I} \sin \psi }{\sqrt {1-2\mathrm {I} \left[\cos \psi \cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -\varphi )+\sin \psi \sin \mathrm {P} \right]+\mathrm {I} ^{2}}}}\\\sin \mathrm {Q} '=&{\frac {\sin \mathrm {Q} -{\cfrac {\mathrm {I} \cos \psi \sin \varphi }{\cos \mathrm {P} }}}{\sqrt {1-{\cfrac {2\mathrm {I} \cos \psi \cos(\mathrm {Q} -\varphi )}{\cos \mathrm {P} }}+{\cfrac {\mathrm {I} ^{2}\cos ^{2}\psi }{\cos ^{2}\mathrm {P} }}}}}.\end{aligned}}$

6. Or, soient $\mathrm {P}$ le pôle de l’équateur (fig. 3), $\mathrm {PS}$ le cercle de déclinaison

Fig. 3.

de l’astre $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {PV}$ le cercle de déclinaison de l’astre $\mathrm {V} ,$ et $\mathrm {VS}$ un grand arc de cercle qui passe par ces deux astres, on aura, dans le triangle $\mathrm {PVS} ,$

$\mathrm {PS} =90^{\circ }-p,\quad \mathrm {PV} =90^{\circ }-\mathrm {P} ,\quad \mathrm {SPV=Q} -q\,;$

donc, nommant $\mathrm {Z}$ la distance $\mathrm {SV}$ de l’astre $\mathrm {V}$ à l’astre $\mathrm {S} ,$ on aura

$\cos \mathrm {Z} =\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} .$

De même, si l’on appelle $\mathrm {Z} '$ la distance apparente de l’astre $\mathrm {V}$ à l’astre $\mathrm {S} ,$ par rapport au point $\mathrm {L}$ de la Terre, on aura

$\cos \mathrm {Z} '=\cos p'\cos \mathrm {P} '\cos(\mathrm {Q} '-q')+\sin p'\sin \mathrm {P} '.$

Ainsi l’on trouvera les valeurs de $\mathrm {Z}$ et de $\mathrm {Z} ',$ dont la différence sera l’effet des parallaxes combinées des deux astres $\mathrm {V}$ et $\mathrm {S} .$