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§ II — Simplification des formules précédentes en supposant les parallaxes des astres fort petites, et conséquences qui résultent de ces formules.

7. Supposons que les quantités $i$ et $\mathrm {I}$ soient très-petites (ce qui est vrai en général à l’égard de tous les astres), et nous aurons, en négligeant les termes très-petits du second ordre et des ordres ultérieurs,

${\begin{aligned}\sin p'=&\sin p+i\left[\cos \psi \sin p\cos p\cos(q-\varphi )-\sin \psi \cos ^{2}p\right],\\\sin q'=&\sin q+{\frac {i\cos \psi }{\cos p}}\left[\sin q\cos(q-\varphi )-\sin \varphi \right].\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait

$p'=p+ix,\quad q'=q+iy,$

ce qui donne

$\sin p'=\sin p+ix\cos p,\quad \sin q'=\sin q+iy\cos q,$

on aura

${\begin{aligned}x=&\cos \psi \sin p\cos(q-\varphi )-\sin \psi \cos p,\\y=&{\frac {\cos \psi }{\cos p\cos q}}\left[\sin q\cos(q-\varphi )-\sin \varphi \right],\end{aligned}}$

ou bien

$y={\frac {\cos \psi \sin(q-\varphi )}{\cos p}}\,;$

et il est clair que les quantités $ix$ et $iy$ représenteront les parallaxes de déclinaison et d’ascension droite de l’astre $\mathrm {S} .$

8. Si l’on fait de même

$\mathrm {P'=P+IX,\quad Q'=Q+IY} ,$

en sorte que $\mathrm {IX}$ et $\mathrm {IY}$ soient les parallaxes de déclinaison et d’ascension droite de l’astre $\mathrm {V} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\cos \psi \sin \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -\varphi )-\sin \psi \cos \mathrm {P} ,\\\mathrm {Y} =&{\frac {\cos \psi \sin(\mathrm {Q} -\varphi )}{\cos \mathrm {P} }},\end{aligned}}$