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et la valeur de $\cos \mathrm {Z} '$ deviendra

${\begin{aligned}\cos \mathrm {Z} '=&\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} \\&+ix\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\\&+\mathrm {IX} \left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\\&+(iy-\mathrm {\mathrm {I} \mathrm {Y} } )\cos p\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q),\end{aligned}}$

où l’on remarquera que

$\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} =\cos \mathrm {Z} .$

9. Si l’on substitue maintenant, à la place de $x,y,\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ leurs valeurs, et qu’on fasse $\mathrm {I} =ik,$ c’est-à-dire $k={\frac {r}{\mathrm {R} }},$ et

${\begin{aligned}\mathrm {L} =\quad \ \,&\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin p\cos q\ \ +\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\sin q\\+k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\sin \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} -\cos p\sin(\mathrm {Q} \,-q)\sin \mathrm {Q} ,\\\\\mathrm {M} =\quad \ &\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin p\sin q\ \ \,-\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\cos q\\+k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\sin \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} \,+\cos p\sin(\mathrm {Q} \,-q)\cos \mathrm {Q} ,\\\\\mathrm {N} =-\ \ &\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\cos p\\-k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\cos \mathrm {P} ,\end{aligned}}$

on aura la formule suivante

$\cos \mathrm {Z} '=\cos \mathrm {Z} +i(\mathrm {L} \cos \psi \cos \varphi +\mathrm {M} \cos \psi \sin \varphi +\mathrm {N} \sin \psi ),$

dans laquelle les quantités $\mathrm {L,M}$ et $\mathrm {N}$ ne dépendent que de la situation des astres, en sorte qu’elles sont les mêmes pour tous les lieux de la Terre.

10. J’observe présentement que la quantité

$\mathrm {L} \cos \psi \cos \varphi +\mathrm {M} \cos \psi \sin \varphi +\mathrm {N} \sin \psi$

peut se ramener à cette forme

$\gamma [\cos \psi \cos \alpha \cos(\varphi -\beta )+\sin \psi \sin \alpha ]\,;$

car en mettant $\cos \beta \cos \varphi +\sin \beta \sin \varphi$ à la place de $\cos(\varphi -\beta ),$ et com-