et la valeur de
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \mathrm {Z} '=&\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} \\&+ix\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\\&+\mathrm {IX} \left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\\&+(iy-\mathrm {\mathrm {I} \mathrm {Y} } )\cos p\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c266172f28e0829f4418243434f6c372da571b08)
où l’on remarquera que
![{\displaystyle \cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} =\cos \mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9fb9a48afe039120f3e6688c008cba9bd5d9718)
9. Si l’on substitue maintenant, à la place de
et
leurs valeurs, et qu’on fasse
c’est-à-dire
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} =\quad \ \,&\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin p\cos q\ \ +\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\sin q\\+k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\sin \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} -\cos p\sin(\mathrm {Q} \,-q)\sin \mathrm {Q} ,\\\\\mathrm {M} =\quad \ &\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin p\sin q\ \ \,-\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\cos q\\+k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\sin \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} \,+\cos p\sin(\mathrm {Q} \,-q)\cos \mathrm {Q} ,\\\\\mathrm {N} =-\ \ &\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\cos p\\-k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\cos \mathrm {P} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5aee0d3d95f742ea87264eb214c93b82d3cb7f)
on aura la formule suivante
![{\displaystyle \cos \mathrm {Z} '=\cos \mathrm {Z} +i(\mathrm {L} \cos \psi \cos \varphi +\mathrm {M} \cos \psi \sin \varphi +\mathrm {N} \sin \psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175a858875eb586965e2ac1c2159cdd6cc6e8d78)
dans laquelle les quantités
et
ne dépendent que de la situation des astres, en sorte qu’elles sont les mêmes pour tous les lieux de la Terre.
10. J’observe présentement que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {L} \cos \psi \cos \varphi +\mathrm {M} \cos \psi \sin \varphi +\mathrm {N} \sin \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb082e46a97144a6947b76a594bf627088ee3948)
peut se ramener à cette forme
![{\displaystyle \gamma [\cos \psi \cos \alpha \cos(\varphi -\beta )+\sin \psi \sin \alpha ]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8296621299f0d766ec5eef6ac6e6c335054e420c)
car en mettant
à la place de
et com-