Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/344

Ainsi, nous appellerons dans la suite cercles de parallaxe ces cercles décrits sur le globe, et qui passent par tous les points où la parallaxe de distance est la même, et nous nommerons de même pôle de parallaxe le pôle $\mathrm {H}$ de tous ces cercles, dont nous allons maintenant chercher la position.

12. Les trois équations du n^o 10 se réduisent aisément à celles-ci

${\begin{aligned}&\gamma \cos \alpha \cos(\beta -q)=\mathrm {L} \cos q+\mathrm {M} \sin q,\\&\gamma \cos \alpha \sin(\beta -q)=\mathrm {M} \cos q-\mathrm {L} \sin q,\\&\gamma \sin \alpha =\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

lesquelles, par la substitution de $\mathrm {L,M}$ et $\mathrm {N} ,$ se changent en

$\gamma \cos \alpha \cos(\beta -q)=[(\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)]\sin p$

${\begin{aligned}+k\left\{\left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\qquad \right.&\\\left.-\cos p\sin ^{2}(\mathrm {Q} -q)\right\},&\end{aligned}}$

$\gamma \cos \alpha \sin(\beta -q)=-\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)$

${\begin{aligned}+k\left\{\left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\qquad \right.&\\\left.+\cos p\sin(\mathrm {Q} -q)\cos(\mathrm {Q} -q)\right\},&\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\gamma \sin \alpha =&-\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\cos p\\&-k\left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\cos \mathrm {P} ,\end{aligned}}$

ou bien, à cause de

$\cos \mathrm {Z} =\sin p\sin \mathrm {P} +\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q),$

en celles-ci

${\begin{aligned}\gamma \cos \alpha \cos(\beta -q)=&\cos p\cos \mathrm {Z} -\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\\&+k\left[\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\cos \mathrm {Z} -\cos p\right],\\\gamma \cos \alpha \sin(\beta -q)=&-\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)(1-k\cos \mathrm {Z} ),\\\gamma \sin \alpha =\sin p\cos \mathrm {Z} &-\sin \mathrm {P} +k(\sin \mathrm {P} \cos \mathrm {Z} -\sin p),\end{aligned}}$

d’où il est facile de tirer les valeurs de $\gamma ,\alpha$ et $\beta -q.$

13. En ajoutant ensemble les carrés de ces trois équations, on aura