Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/345

d’abord

${\begin{aligned}\gamma ^{2}=&\cos ^{2}\mathrm {Z} -2\cos ^{2}\mathrm {Z} +1+2k\left(\cos ^{3}z+\cos \mathrm {Z} -\cos \mathrm {Z} -\cos \mathrm {Z} \right)\\&+k^{2}\left(\cos ^{2}\mathrm {Z} -2\cos ^{2}\mathrm {Z} +1\right)=\sin ^{2}\mathrm {Z} \left(1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}\right),\end{aligned}}$

et par conséquent

$\gamma =\sin \mathrm {Z} {\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}.$

Or $k={\frac {r}{\mathrm {R} }}$ (9) ; donc

${\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}={\frac {\sqrt {\mathrm {R^{2}-2R} r\cos \mathrm {Z} +r^{2}}}{\mathrm {R} }}.$

Mais, en considérant le triangle rectiligne $\mathrm {TVS}$ (fig. 5), dans lequel

Fig. 5.

$\mathrm {TS} =r,\ \mathrm {TV=R}$ et $\mathrm {VTS=Z} ,ilestclairque$

$\mathrm {VS} ={\sqrt {\mathrm {R^{2}-2R} r\cos \mathrm {Z} +r^{2}}}\,;$

d’où il s’ensuit que, si l’on nomme $f$ la distance rectiligne de l’astre $\mathrm {V}$ à l’astre $\mathrm {S} ,$ on aura

${\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}={\frac {f}{\mathrm {R} }}.$

Soit donc, pour abréger, $u={\frac {f}{\mathrm {R} }},$ et l’on aura $\gamma =u\sin \mathrm {Z} ,$ et par conséquent

$\cos \mathrm {Z} '=\cos \mathrm {Z} +iu\sin \mathrm {Z} \cos \zeta .$

Donc, puisque $i$ est une quantité extrêmement petite, on aura à très-peu près

$\cos \mathrm {Z} '=\cos(\mathrm {Z} -iu\cos \zeta ),$

d’où

$\mathrm {Z'=Z} -iu\cos \zeta ,$

de sorte que $-iu\cos \zeta$ sera la parallaxe de distance des deux astres pour tous les lieux de la Terre $\mathrm {L}$ qui sont éloignés du pôle $\mathrm {H}$ de l’arc $\zeta .$