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et, en substituant la valeur de $\sin(\beta -q)\cos \alpha ,$

$\sin \mathrm {PSH} ={\frac {\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)(k\cos \mathrm {Z} -1)}{\gamma \sin \mathrm {SH} }},$

ou bien, à cause de $\sin \mathrm {PSV} ={\frac {\sin(\mathrm {Q} -q)\cos \mathrm {P} }{\sin \mathrm {Z} }},$

$\sin \mathrm {PSH} ={\frac {\sin \mathrm {Z} (k\cos \mathrm {Z} -1)\sin \mathrm {PSV} }{\gamma \sin \mathrm {SH} }}\,;$

mais

$\sin \mathrm {SH} ={\frac {k\cos \mathrm {Z} -1}{\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}}\,;$

donc

$\gamma \sin \mathrm {SH} =\sin \mathrm {Z} (k\cos \mathrm {Z} -1)\,;$

par conséquent

$\sin \mathrm {PSH=\sin PSV} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {PSH=PSV} \,;$

d’où il s’ensuit que, pour trouver le pôle $\mathrm {H}$ des parallaxes, il n’y a qu’à prolonger l’arc de grand cercle $\mathrm {SV}$ du côté de $\mathrm {V}$ (fig. 7), et prendre sur

Fig. 7.

ce prolongement un arc $\mathrm {SH}$ dont le cosinus soit $-{\frac {\sin \mathrm {Z} }{g}},$ c’est-à-dire prendre un arc $s$ tel, que $\sin s={\frac {\sin \mathrm {Z} }{g}},$ et faire ensuite l’arc $\mathrm {SH} =90^{\circ }+s.$

15. Si l’on voulait déterminer la position du pôle $\mathrm {H}$ sur le globe par latitude et par longitude, il n’y aurait qu’à chercher d’abord l’angle $\mathrm {PSV} ,$ c’est-à-dire l’angle que le cercle $\mathrm {SV}$ passant par les deux astres fait avec le cercle de déclinaison $\mathrm {PS}$ de l’astre $\mathrm {S} .$