Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/353

Mais on a (10)

$\cos \zeta =\cos \alpha \cos \psi \cos(\varphi -\beta )+\sin \alpha \sin \psi \,;$

donc on aura aussi

$cos\Sigma =\cos \alpha \cos \Psi \cos(\Phi -\beta )+\sin \alpha \sin \Psi ,$

d’où

$cos\Sigma -\cos \zeta =(\cos \Psi \cos \Phi -\cos \psi \cos \varphi )\cos \alpha \cos \beta$

$+(\cos \Psi \sin \Phi -\cos \psi \sin \varphi )\cos \alpha \sin \beta +(\sin \Psi -\sin \psi )\sin \alpha .$

Maintenant, il est visible que cette quantité peut se ramènera à la forme

$\mathrm {V} \left[\cos \alpha \cos \mathrm {X} \cos(\mathrm {Y} -\beta )+\sin \mathrm {X} \sin \alpha \right],$

en faisant

${\begin{aligned}&\mathrm {V\cos X\cos Y} =\cos \Psi \cos \Phi -\cos \psi \cos \varphi ,\\&\mathrm {V\cos X\sin Y} \,=\cos \Psi \sin \Phi \,-\cos \psi \sin \varphi ,\\&\mathrm {V\sin X} =\sin \Psi -\sin \psi .\end{aligned}}$

De plus, il est évident que si, dans le triangle $\mathrm {PHF}$ (fig. 9), $\mathrm {P}$ est le pôle

Fig. 9.

de l’équateur, $\mathrm {H}$ celui des parallaxes et $\mathrm {F}$ le lieu qui répond à la latitude terrestre $\mathrm {X}$ et à la longitude $\mathrm {Y} ,$ en sorte que

$\mathrm {PH=90^{\circ }-\alpha ,\quad PF=90^{\circ }-X,\quad FPH=\beta -Y} ,$

on aura

$\mathrm {\cos FH=\cos \alpha \cos X\cos(\beta -Y)+\sin \alpha \sin X} ,$

de manière qu’en nommant $\xi$ la distance du pôle $\mathrm {H}$ au point $\mathrm {F}$ on aura

$cos\Sigma -\cos \zeta =\mathrm {V} \cos \xi .$