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faut avouer que cette branche de l’Analyse, quoique peut-être une des plus importantes, est néanmoins une de celles que les Géomètres paraissent avoir le plus négligées, ou du moins dans lesquelles ils ont fait jusqu’à présent le moins de progrès.

Diophante et ses commentateurs ont à la vérité résolu un grand nombre de Problèmes indéterminés du second, du troisième et même du quatrième degré ; mais la plupart de leurs solutions n’étant que particulières, il n’est pas étonnant qu’il se trouve encore des cas d’ailleurs fort simples, et en même temps fort étendus, pour lesquels les méthodes de Diophante soient absolument insuffisantes.

S’il s’agissait, par exemple, de résoudre l’équation $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$ en supposant $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des nombres entiers non carrés, c’est-à-dire de trouver une valeur rationnelle de $t$ telle que $\mathrm {A+B} t^{2}$ devînt un carré, on verrait aisément que tous les artifices connus de l’Analyse de Diophante seraient en défaut pour ce cas ; or, c’est précisément à ce cas que se réduit la solution générale des Problèmes indéterminés du second degré à deux inconnues, comme on le verra ci-après. Personne que je sache ne s’est occupé de ce Problème, si l’on en excepte M. Euler qui en a fait l’objet de deux excellents Mémoires qui se trouvent parmi ceux de l’Académie de Pétersbourg (t. VI des anciens Commentaires et t. IX des nouveaux) ; mais il s’en faut encore beaucoup que la matière soit épuisée. Car : 1^o M. Euler n’a considéré, dans l’équation $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$ que le cas où $\mathrm {B}$ est un nombre positif, et où $t$ et $u$ doivent être des nombres entiers ; 2^o dans ce cas même, M. Euler suppose qu’on connaisse déjà une solution de l’équation et il donne le moyen d’en déduire une infinité d’autres. Ce n’est pas que ce grand Géomètre n’ait tâché de donner aussi quelques règles pour connaître a priori si l’équation proposée est résoluble ou non ; mais, outre que ces règles ne sont fondées que sur des principes précaires et tirés seulement de l’induction, elles ne sont d’ailleurs d’aucune utilité pour la recherche de la première solution, qui doit être supposée connue (voyez le premier Mémoire du t. IX des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, et surtout la conclusion de ce Mémoire, p. 38) ; 3^o les formules que M. Euler donne pour trouver une infinité de solu-