changeons maintenant
en
et ces termes deviendront
![{\displaystyle \xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {d\varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dx}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31e65dec3fe8f98205db89cd79a7982cd2e9c9a)
3o Le terme
donnera, en faisant pour plus de simplicité
![{\displaystyle \pi ''\left({\frac {\delta d\varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '\delta dx}{dx^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc1f2ec86ba3315acb2398dc66f740d41c43e38)
d’où l’on tirera d’abord, comme ci-devant, les termes hors du signe
![{\displaystyle \xi \pi ''dx^{m}\left({\frac {\delta \varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '\delta x}{dx^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ef4ced2f48cac8bad7f4dce8f6709d77c6d9dc)
lesquels, en changeant
en
deviennent
![{\displaystyle \xi \pi ''dx^{m}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dx}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c995c065dc1425e081c488c94fa3254a8dcf6860)
et ainsi de suite.
On fera le même raisonnement sur les autres termes de la valeur de
et l’on en conclura que si l’on change la caractéristique
caractéristique ordinaire
dans l’expression de
on aura toujours
Or, on a en général (Art. II)
![{\displaystyle \Pi +\int \Psi =\mathrm {const} .\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4322831e2079ccb75f55d125c09b64fd651a0542)
donc, lorsque
on aura
![{\displaystyle \int \Psi =\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8606b73c9c21e3796fdeccc531fb0a584d82541e)
et de là
mais
![{\displaystyle \Psi =\mathrm {P} \delta \varphi +\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c594e9b38c3de36ffe8d00ab63d609a1e25fffcf)
donc, changeant
en
on aura toujours
![{\displaystyle \mathrm {P} d\varphi +\mathrm {Q} dx+\mathrm {R} dy+\mathrm {S} dz+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9541f479f5dc20577c7c55c798221211859db2)
équation identique d’elle-même. De là il est facile de conclure que les équations du maximum ou du minimum résultantes de l’équation géné-