Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/52

changeons maintenant $\delta$ en $d,$ et ces termes deviendront

$\xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {d\varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dx}}\right)=0.$

3^o Le terme $\pi ''\delta {\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}}$ donnera, en faisant pour plus de simplicité ${\frac {d\varphi }{dx}}=\varphi ',$

$\pi ''\left({\frac {\delta d\varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '\delta dx}{dx^{2}}}\right),$

d’où l’on tirera d’abord, comme ci-devant, les termes hors du signe

$\xi \pi ''dx^{m}\left({\frac {\delta \varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '\delta x}{dx^{2}}}\right),$

lesquels, en changeant $\delta$ en $d,$ deviennent

$\xi \pi ''dx^{m}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dx}}\right),$

et ainsi de suite.

On fera le même raisonnement sur les autres termes de la valeur de $\delta \Sigma ,$ et l’on en conclura que si l’on change la caractéristique $\delta$ caractéristique ordinaire $d,$ dans l’expression de $\Pi ,$ on aura toujours $\Pi =0.$ Or, on a en général (Art. II)

$\Pi +\int \Psi =\mathrm {const} .\,;$

donc, lorsque $\Pi =0,$ on aura

$\int \Psi =\mathrm {const} .,$

et de là $\Psi =0\,;$ mais

$\Psi =\mathrm {P} \delta \varphi +\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots \,;$

donc, changeant $\delta$ en $d,$ on aura toujours

$\mathrm {P} d\varphi +\mathrm {Q} dx+\mathrm {R} dy+\mathrm {S} dz+\ldots =0,$

équation identique d’elle-même. De là il est facile de conclure que les équations du maximum ou du minimum résultantes de l’équation géné-