rale (F) de l’Article III pourront toujours se réduire à une de moins ; parce que si toutes ces équations, hors une, sont supposées avoir lieu, celle-ci s’ensuivra toujours nécessairement ; en effet, comme les équations dont il s’agit doivent être indépendantes des différences marquées par il est clair qu’elles devront également avoir lieu en supposant que ces différences deviennent les mêmes que celles marquées par mais dans ce cas l’équation (F), qui renferme toutes les équations particulières pour le maximum ou pour le minimum, devient identique, comme nous venons de le démontrer ; donc, etc.
J’avais déjà prouvé cette proposition en peu de mots, dans l’Article VIII de mon Mémoire imprimé dans le tome II des Miscellanea Taurinensia[1] ; mais la démonstration que je viens d’en donner a l’avantage d’être beaucoup plus simple et plus générale. Au reste, on voit par cette démonstration que le théorème cesserait d’être vrai si la fonction n’était pas réductible à la forme étant une fonction quelconque de il est vrai que cela doit toujours être par la nature même des équations différentielles ; mais s’il s’agissait des différences finies, en sorte que les différentielles qui entrent dans l’équation donnée dussent être des différences finies de alors la condition dont nous parlons ne serait plus nécessaire et pourrait très-bien ne pas avoir lieu dans la fonction On peut voir, dans le second Appendice du Mémoire cité, un exemple du calcul qu’on peut faire dans le cas des différences finies ; nous n’en dirons rien ici pour ne pas trop nous écarter de notre objet, mais peut-être pourrons-nous y revenir une autre fois.
Supposons que l’on ait
Z étant une fonction de et de leurs différentielles ; on aura
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. I, p. 345.
