donc, en différentiant
pour faire disparaître le signe
l’équation
![{\displaystyle \mathrm {Z} -d\varphi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c18fbd9ce023ae394a3fd3b9a59e0cbefe9904)
laquelle, étant comparée à l’équation
donnera
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {Z} -d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de3be87f019ab29ef10856fcc9136dbfacd565f)
et de là
![{\displaystyle \delta \Phi =\delta \mathrm {Z} -\delta d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc53fbcf194238bd47768843233b4088736ab30)
Soit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\delta \mathrm {Z} &=q\delta x&+&q'\delta dx&+&q''\delta d^{2}x&+&\ldots \\&+r\delta y&+&r'\delta dy&+&r''\delta d^{2}y&+&\ldots \\&+s\delta z&+&s'\delta dz&+&s''\delta d^{2}z&+&\ldots \\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37158b4fb45fa1d515cbb157a4de988b6fab82da)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6738827e4da2f53660bb22a0a33ea02b8e5052ae)
et l’on aura pour
la même expression que dans l’Artiele II, en faisant
![{\displaystyle p=0,\quad p'=-1,\quad p''=0,\quad p'''=0,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc7a0f382586b677be61dea78578e41d97b6781)
Donc, on aura d’abord
![{\displaystyle \mathrm {P} =-d\xi ,\quad \mathrm {P} '=\xi ,\quad \mathrm {P} ''=0,\quad \mathrm {P} '''=0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104e4c324d99a8b04e4b58b3f3216af4937f6083)
donc, puisqu’il faut que la variable
soit déterminée par l’équation
on aura
![{\displaystyle d\xi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f135fb5c0005d8f69a093d1e063f4d62370cd74)
et de là
![{\displaystyle \xi =\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6b2d3db27aba03fadd4c78ce17d9166f9cc6ae)
constante qu’on pourra prendre égale à l’unité pour plus de simplicité ; à l’égard des équations
il est clair qu’elles auront lieu d’elles-mêmes ; à cause de
On mettra donc partout
à la place de
et l’on aura pour le maximum ou le minimum de la fonction
1o l’équation variable (F) ; 2o l’équation constante (G) (Art. III). Il faut remarquer, à l’égard de cette dernière équation, que, comme on a
on aura
de plus, comme la valeur de
est nulle lorsque l’intégrale
commence, on aura
et par conséquent
de sorte qu’il faudra effacer entièrement dans l’équation (G) tous les termes affectés de ![{\displaystyle \delta f,\delta df,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e02f654832dc8bc3985388e717bba179065501)