une équation de cette espèce est susceptible de quelque solution en nombres entiers, et il a trouvé par induction une règle qui, si elle était générale, renfermerait un des plus beaux théorèmes d’Arithmétique.
Cette règle est, que toute équation de la forme
( et étant des nombres entiers donnés et deux indéterminées), est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque est un nombre premier de la forme
( et étant des nombres quelconques entiers), ou bien, lorsque les facteurs premiers de sont chacun de l’une ou de l’autre de ces formes. (Voyez le premier Mémoire du tome IX des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.)
M. Euler ne donne point la démonstration de ce théorème, et il avoue même qu’il n’a jamais pu la trouver ; je l’ai aussi longtemps et inutilement cherchée, mais enfin je suis tombé par hasard sur une équation où j’ai reconnu que la règle de M. Euler était en défaut. Cette équation est celle-ci
où est un nombre premier de la forme en faisant et de sorte qu’il faudrait qu’elle fût résoluble en nombres entiers cependant elle ne l’est pas, comme on peut aisément s’en assurer par notre méthode (voyez plus bas le no 38).
Si l’on voulait limiter le théorème de M. Euler en disant que tout nombre premier de la forme est aussi de la forme lorsque est un nombre premier de la même forme l’exemple précédent ferait voir que cette limitation serait insuffisante : car
en faisant et est un nombre premier de la forme en supposant et or n’est pas de la même forme
