Il résulte de tout ce que nous venons de dire que depuis l’ouvrage de M. Bachet, qui a paru en 1613, jusqu’à présent, ou du moins jusqu’au Mémoire que je donnai l’année passée, sur la solution des Problèmes indéterminés du second degré[1], la théorie de ces sortes de Problèmes n’avait pas, à proprement parler, été poussée au delà du premier degré.
J’ai fait voir, dans le Mémoire dont je viens de parler, comment toutes les équations du second degré à deux indéterminées peuvent toujours se réduire à la forme très-simple
ensuite j’ai donné des méthodes directes et générales pour trouver toutes les solutions possibles tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires de ces sortes d’équations. La méthode pour le cas où est un nombre positif, et où et doivent être des nombres entiers, laquelle fait l’objet du § III, est à la vérité un peu longue et compliquée, et j’avoue même qu’elle l’est à un point qui la rend difficile à suivre ; mais je crois que cette difficulté ne doit être imputée qu’à la nature de la matière, et au grand nombre de cas auxquels il faut avoir égard quand on veut la traiter d’une manière aussi directe et aussi rigoureuse que nous l’avons fait. Cependant j’ai trouvé moyen depuis de simplifier beaucoup cette méthode et de l’étendre même à des équations d’un degré quelconque ; c’est ce que je me propose de développer dans ce Mémoire avec le plus d’ordre et de clarté qu’il me sera possible.
Comme la théorie des fractions continues est le fondement de la nouvelle méthode que je vais expliquer, je supposerai ici cette théorie telle que je l’ai donnée dans le Mémoire sur la résolution des équations numériques[2], et dans Additions à ce Mémoire[3], et je me contenterai d’en emprunter tout ce dont j’aurai besoin, en renvoyant pour les démonstrations à ces autres écrits.
