1. Si sont des nombres quelconques entiers et tels, que et soient premiers entre eux, je dis quon peut toujours trouver deux nombres entiers et tels que
Je supposerai ici pour plus de simplicité que et soient positifs ; si l’un d’eux comme était négatif, on pourrait toujours le regarder comme positif, et il n’y aurait qu’à prendre ensuite négativement, et ainsi du reste.
Qu’on divise les nombres par en faisant successivement jusqu’à et l’on aura restes dont chacun sera différent de tous les autres ; car si deux valeurs de comme et donnaient le même reste, il faudrait que la différence entre les deux dividendes et savoir le nombre fût divisible exactement par ce qui ne se peut, à cause que est premier à et que et sont tous les deux moindres que Donc, puisque les restes dont il s’agit doivent être par leur nature moindres que et différents les uns des autres, il est clair que ces restes ne peuvent être que les nombres d’où il s’ensuit qu’il y aura nécessairement une valeur de à laquelle répondra un reste nul, c’est-à-dire qui sera telle, que soit divisible par donc, nommant le quotient de cette division, on aura donc
2. Corollaire I. — Quand on aura trouvé deux valeurs correspondantes de et qui satisferont à l’équation
on pourra par leur moyen en trouver une infinité d’autres ; car, désignant par et les valeurs trouvées, en sorte que l’on ait
