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et supposant en général

$a=by-cz,$

on aura

$b(y-p)-c(z-q)=0\,;$

d’où

${\frac {y-p}{z-q}}={\frac {c}{b}},$

et de là, à cause que $b$ et $c$ sont premiers entre eux,

$y-p=mc,\quad z-q=mb,$

et par conséquent

$y=p+mc,\quad z=q+mb,$

$m$ étant un nombre entier quelconque ; et il est facile de voir que ces expressions renfermeront nécessairement toutes les valeurs possibles de $y$ et $z$ dans l’équation proposée.

3. Corollaire II. — Or, puisque l’on peut prendre pour $m$ un nombre quelconque entier positif ou négatif, on pourra toujours faire en sorte que la valeur de $y$ soit égale à un nombre positif ou négatif, moindre que ${\frac {c}{2}},$ ou que celle de $z$ devienne égale à un nombre positif ou négatif, moindre que ${\frac {b}{2}}.$ Donc, quels que soient les nombres $a,b,c,$ pourvu que $b$ et $c$ soient premiers entre eux, on pourra toujours satisfaire à l’équation

$a=by-cz,$

en prenant pour $y$ un nombre entier positif ou négatif, moindre que ${\frac {c}{2}},$ ou pour $z$ un nombre moindre que ${\frac {b}{2}}\,;$ de sorte que pour trouver les valeurs convenables de $y$ et $z$ il n’y aura qu’à essayer successivement pour $y$ tous les nombres entiers moindres que ${\frac {c}{2}},$ pris positivement ou négativement, ou pour $z$ tous les nombres entiers moindres que ${\frac {b}{2}}$ pris aussi positivement ou négativement ; et ayant trouvé de cette manière