trois dimensions des mêmes quantités ; de sorte que l’on aura, pour la détermination des inconnue
ces trois équations
![{\displaystyle \mathrm {A=0,\quad B=0,\quad C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0947fb4ed3aed1176c1734a19e02dc94625109)
dont la première sera du premier degré, la seconde du second, et la troisième du troisième degré ; d’où il est facile de voir qu’on aura par l’élimination une équation finale e n
ou
ou
qui sera du degré
c’est-à-dire du sixième. Il paraît donc par là que la méthode dont il s’agit ne saurait réussir, puisqu’elle conduit à une réduite d’un degré supérieur à la proposée ; mais il pourrait se faire que cette réduite du sixième degré pût s’abaisser à un degré inférieur ; c’est ce qu’il est bon d’examiner à priori avant d’entreprendre le calcul que nous venons d’indiquer.
42. Pour cet effet il faut chercher quelle fonction des racines
devra être l’indéterminée
par exemple, pour que la transformée
y se réduise à la forme
![{\displaystyle y^{4}+\mathrm {D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38eb799984b2dc7b1aa5adb5eb9736951261b340)
Or cette équation en
donne ces quatre racines (25)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&\pm {\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }},\\y=&\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0bdee7fa81a98ec587d93ea1b8d99d031a247e)
ainsi, en faisant pour plus de simplicité
il n’y aura qu’à mettre successivement dans l’équation subsidiaire
![{\displaystyle x^{3}+fx^{2}+gx+h+y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf86b9afedbca0307c4c4878a62f6d4e27a931e)
à la place de
et
à la place de
et l’on aura ces quatre-ci
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a^{3}+&a^{2}f+&ag+&h+k=0,\\b^{3}+&b^{2}f+&bg+&h-k=0,\\c^{3}+&c^{2}f+&cg+&h+k{\sqrt {-1}}=0,\\d^{3}+&d^{2}f+&dg+&h-k{\sqrt {-1}}=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062209666d2eac514ab381d593388b4dee11ea6f)
d’où l’on pourra tirer les valeurs de
et ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)