Donc, faisant avec M. Euler
on aura
![{\displaystyle -\mathrm {D} ={\frac {\left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}}{16}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306c76a7f7855e115470351a4c96b4c902bcbd42)
Et il est facile de conclure de cette expression de
que l’équation en
sera effectivement du troisième degré, comme M. Euler l’a trouvé, car elle ne sera autre chose que la réduite en
trouvée plus haut (32), dans laquelle on mettrait
à la place de
puisqu’on a fait
![{\displaystyle t=s^{2}=(a+b-c-d)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bd90f5746fa7fee70c42dfc4dbefdae7769cf8)
désignant dans ce numéro-là les quantités que nous dénotons maintenant par
c’est-à-dire les quatre racines de la proposée.
Mais si M. Euler, au lieu de supposer
avait supposé
sa réduite en
n’aurait plus été du troisième degré, mais elle serait montée au sixième.
Car, si des quatre équations ci-dessus on prend la différence des deux premières et la différence des deux dernières, on a ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\,\ -x\ \ =&2b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}+2d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}},\\x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\left[2b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}-2d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}\right]{\sqrt {-1}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b28c294e56cb19023216c0e795452cf4791c8dc)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}\ \ \,=&{\frac {x'-x''-\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right){\sqrt {-1}}}{4}},\\d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}=&{\frac {x'-x''+\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right){\sqrt {-1}}}{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2efcfb43f6d81746fec4964ee8a77a3bf1c59d7)
De sorte qu’en faisant
et prenant les quatrièmes puissances on aura
![{\displaystyle -\mathrm {D} =\left[{\frac {x'-x''-\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right){\sqrt {-1}}}{4}}\right]^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fb0309fd442f82901185f6d8b262542910b42f)
quantité qui doit dépendre d’une équation du sixième degré, comme on le verra dans un moment.
48. Si l’on fait avec M. Bezout
on aura par les formules