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$x'',x''',\ldots$ on aura toutes les valeurs particulières de $f$ qui devront être les racines de l’équation en $f.$

Comme le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre $\mu$ choses est exprimé en général par $1.2.3\ldots \mu ,$ il s’ensuit qu’on aura, généralement parlant, $1.2.3\ldots \mu ,$ valeurs particulières de $f\,;$ mais, si parmi ces valeurs il s’en trouve d’égales entre elles, il est clair qu’on pourra les réduire à un plus petit nombre en faisant abstraction des valeurs égales, et nous allons faire voir qu’il n’y aura en effet que $1.2.3\ldots (\mu -1)$ valeurs différentes de $f.$

55. Pour cela il n’est pas nécessaire de chercher l’expression de $f$ par le moyen des équations $(e)\,;$ il suffit d’examiner les variations dont le système de ces équations est susceptible par les permutations des racines $x',x'',x''',\ldots$ entre elles. Pour connaître ces variations, on commencera par supposer que la racine $x'$ demeure à sa place, c’est-à-dire que la première équation reste la même, et l’on échangera successivement entre elles, dans les autres équations, les $\mu -1$ racines $x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ ce qui donnera $1.2.3\ldots (\mu -1)$ variations ; ensuite on fera prendre à $x'$ la place de $x''$ et vice versâ, ou, ce qui revient au même, on mettra dans la première équation $\alpha u$ à la place de $u,$ et dans la seconde $u$ à la place de $\alpha u,$ et l’on fera ensuite les mêmes échanges entre les $\mu -1$ racines $x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ ce qui donnera $1.2.3\ldots (\mu -1)$ nouvelles variations ; on mettra encore $x'$ à la place de $x'''$ et vice versâ, ou bien on substituera $\alpha ^{2}u$ à la place de $u$ dans la première équation, et $u$ à la place de $\alpha ^{2}u$ dans la troisième, et l’on fera ensuite les mêmes échanges entre les racines $x'',x''',\ldots ,$ ce qui donnera aussi $1.2.3\ldots (\mu -1)$ variations, et ainsi de suite. Par ce moyen on aura $\mu$ fois $1.2.3\ldots (\mu -1)$ variations, ce qui fait le nombre total $1.2.3\ldots \mu$ de toutes les variations possibles du système des équations $(e).$

Maintenant je remarque que dès qu’on aura trouvé les 1.2.3\ldots(\mu-1) variations qui ont lieu tant que $x'$ demeure à sa place, on pourra en déduire sur-le-champ toutes les autres en ne faisant que substituer successivement dans toutes les équations $(e),$ à la place de $u,$ les quantités