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une ou plusieurs fois dans le nombre $\mu ,$ il est facile de voir que les puissances de $\alpha ,$ qu’il faudra exclure, pour avoir uniquement les puissances $\alpha ,\alpha ^{\nu },\alpha ^{\varpi },\alpha ^{\rho },\ldots$ dont les exposants sont premiers à $\mu ,$ il est facile de voir, dis-je, que ces puissances seront celles dont les exposants seront des multiples des nombres $r,s,t,\ldots \,;$ de plus il est clair, par ce qu’on a démontré dans le n^o 24, que ces mêmes puissances de seront les racines des équations

$y^{\frac {\mu }{r}}-1=0,\quad y^{\frac {\mu }{s}}-1=0,\quad y^{\frac {\mu }{t}}-1=0,\ldots \,;$

donc, si l’on fait pour plus de simplicité

${\frac {\mu }{r}}=\mu ',\quad {\frac {\mu }{s}}=\mu '',\quad {\frac {\mu }{t}}=\mu ''',\ldots ,$

et qu’on divise l’équation $y^{\mu }-1=0$ successivement par celles-ci

$y^{\mu '}-1=0,\quad y^{\mu ''}-1=0,\quad y^{\mu '''}-1=0,\ldots ,$

on aura les équations suivantes

${\begin{aligned}y^{\mu -\mu '}\ +y^{\mu -2\mu '}\ +y^{\mu -3\mu '}\ \ +\ldots +1&=0,\\y^{\mu -\mu ''}\,+y^{\mu -2\mu ''}\,+y^{\mu -3\mu ''}\ +\ldots +1&=0,\\y^{\mu -\mu '''}+y^{\mu -2\mu '''}+y^{\mu -3\mu '''}+\ldots +1&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

dont la première aura pour racines toutes les puissances de $\alpha$ jusqu’à $\alpha ^{\mu -1},$ à l’exception de celles dont les exposants seront des multiples de $r\,;$ la seconde, toutes les puissances de $\alpha ,$ à l’exception de celles dont les exposants seront des multiples de $s\,;$ la troisième, etc. ; d’où l’on peut conclure que, si l’on cherche le plus grand commun diviseur de toutes ces équations, on aura l’équation cherchée, dont les racines seront les puissances $\alpha ,\alpha ^{\nu },\alpha ^{\varpi },\alpha ^{\rho },\ldots ,$ et qui sera par conséquent de la forme

$(i)\qquad \qquad \qquad y^{\lambda }+\beta y^{\lambda -1}+\gamma y^{\lambda -2}+\ldots +\gamma y^{2}+\beta y+1=0.$

Ainsi, par exemple, si $\mu =4,$ on aura $r=2,\ \mu '=2,$ et l’on aura cette