mêmes lorsqu’on y fait les mêmes permutations entre les quantités dont elles sont composées, de manière qu’elles puissent être désignées d’une manière analogue. Ainsi prenant les caractéristiques
et
pour désigner des fonctions différentes, les fonctions
et
seront semblables, ainsi que les fonctions
et ainsi des autres.
89. Nous supposerons, comme dans la Section précédente, que l’équation proposée soit représentée généralement par
![{\displaystyle x^{\mu }+mx^{\nu -1}+nx^{\nu -2}+px^{\nu -3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d970918f4822644035def1cb90fffc1ff8ff071b)
et que ses racines, qui doivent être au nombre de
soient désignées par ![{\displaystyle x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,x^{(\mu )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db438fcebfd0e3c6c52dfef829b557623ef03a9)
Ainsi l’on aura, par la nature des équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}-m&=x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\n&=x'x''+x'x'''+x''x'''+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\-p&=x'x''x'''+x'x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdad8e7ef01e1cddbb89b84e22891dca0899a920)
Et il est clair que ces fonctions de
par lesquelles sont exprimées les quantités
seront nécessairement toutes de la forme
et que par conséquent ces fonctions seront toutes semblables, ce qui est une propriété fondamentale des équations.
90. Cela posé, pour commencer par les cas les plus simples, supposons que l’équation proposée ne soit que du second degré, et qu’on demande l’équation par laquelle devra être déterminée la fonction
Je fais
en sorte que
soit l’inconnue de l’équation cherchée, et comme
et
sont déterminées l’une et l’autre par la même équation
![{\displaystyle x^{2}+mx+n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487de375cb9e7852a277837cd63d792006165084)
je mets, pour plus de généralité,
à la place de
et
à la place de ![{\displaystyle x''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8652ae6e328512073762836cff8472e62e23a72b)