De là il s’ensuit que le Problème proposé peut toujours se réduire à la résolution d’une équation du degré
ou
Au reste si, au lieu de déterminer l’inconnue
on voulait déterminer l’inconnue
on parviendrait à une équation du genre des réciproques ; car les deux équations
![{\displaystyle x\left(1-r^{\mu }\right)=a(1-r),\quad x^{2}\left(1-r^{2\mu }\right)=b^{2}\left(1-r^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76cb630cfcbbed37f5c075d3ca66aea2c74b78d)
donnant
![{\displaystyle x\left(1+r^{\mu }\right)={\frac {b^{2}}{a}}(1+r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fecdd064a1a6e66fd1fdc06688577cdfa213b7d2)
on aura, en chassant ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle {\frac {\left(1-r^{\mu }\right)}{\left(1+r^{\mu }\right)}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {1-r}{1+r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861ac945206dacd84335b30c21c14263a960b973)
ou bien, en divisant par ![{\displaystyle 1-r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fb89340e5777da24d82ba67f0e475413cb75f4)
![{\displaystyle {\frac {1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots +r^{\mu -1}}{1+r^{\mu }}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {1}{1+r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ab4d0fcd44d7c16338a9b4515dbab125ac5016)
d’où, en multipliant en croix et faisant, pour plus de simplicité,
on aura
![{\displaystyle \left(c^{2}-1\right)r^{\mu }+2c^{2}\left(r^{\mu -1}+r^{\mu -2}+\ldots +r\right)+c^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8bcccfd76af470c315b5c1632a684bac9acbff)
c’est-à-dire
![{\displaystyle r^{\mu }+{\frac {2c^{2}}{c^{2}-1}}\left(r^{\mu -1}+r^{\mu -2}+\ldots +r\right)+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c9395ebbe0ae4c5a5dfdacdba4054394dcab34)
équation réductible au degré
ou
par les méthodes connues.
Ce qu’il y aura de plus simple pour cela ce sera d’employer la substitution de
laquelle changera l’équation
![{\displaystyle {\frac {1-r^{\mu }}{1+r^{\mu }}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {1-r}{1+r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b8829d10408582deaa8ec12b52c39e33c52d4c)
en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {(1+y)^{\mu }-(1-y)^{\mu }}{(1+y)^{\mu }+(1-y)^{\mu }}}={\frac {a^{2}y}{b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d2541802e1b82974346d13a49c295ab3420f1f)
où toutes les puissances impaires de
disparaîtront d’elles-mêmes.