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ment en y mettant $x+1$ à la place de $x\,;$ c’est pourquoi on aura aussi

${\begin{aligned}&(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)\ldots (x+n)\\&=(x+1)^{n-1}+\mathrm {A} '(x+1)^{n-2}+\mathrm {A} ''(x+1)^{n-3}+\mathrm {A} '''(x+1)^{n-4}+\ldots +\mathrm {A} ^{(n-1)}\,;\end{aligned}}$

donc, multipliant toute cette équation par $x+1,$ et la comparant ensuite à la précédente multipliée par $x+n,$ on en tirera celle-ci

${\begin{aligned}&(x+n)\left(x^{n-1}+\mathrm {A} 'x^{n-2}+\mathrm {A} ''x^{n-3}+\mathrm {A} '''x^{n-4}+\ldots +\mathrm {A} ^{(n-1)}\right)\\&=(x+1)^{n}+\mathrm {A} '(x+1)^{n-1}+\mathrm {A} ''(x+1)^{n-2}+\mathrm {A} '''(x+1)^{n-3}+\ldots +\mathrm {A} ^{(n-1)}(x+1),\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en développant les termes et les ordonnant par rapport à $x,$

$x^{n}+(n+\mathrm {A} ')x^{n-1}+(n\mathrm {A} '+\mathrm {A} '')x^{n-2}+(n\mathrm {A} ''+\mathrm {A} ''')x^{n-3}+\ldots$

$=x^{n}+(n+\mathrm {A} ')x^{n-1}+\left[{\frac {n(n-1)}{2}}+(n-1)\mathrm {A} '+\mathrm {A} ''\right]x^{n-2}$

$+\left[{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm {A} '+(n-2)\mathrm {A} ''+\mathrm {A} '''\right]x^{n-3}+\ldots .$

Donc, puisque cette équation est identique, on aura, en comparant terme à terme,

${\begin{aligned}n+\mathrm {A} '\ \ &=n+\mathrm {A} ',\\n\mathrm {A} '+\mathrm {A} ''\ &={\frac {n(n-1)}{2}}+(n-1)\mathrm {A} '+\mathrm {A} '',\\n\mathrm {A} ''+\mathrm {A} '''&={\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm {A} '+(n-2)\mathrm {A} ''+\mathrm {A} ''',\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {A} '\ \ =&{\frac {n(n-1)}{2}},\\2\mathrm {A} ''\ =&{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm {A} ',\\3\mathrm {A} '''=&{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3}}\mathrm {A} '+{\frac {(n-2)(n-3)}{2}}\mathrm {A} '',\end{aligned}}$

et ainsi de suite.