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ce qui peut servir encore à reconnaître ces racines et à les distinguer de toutes les autres.

Pareillement, si l’on fait $c=0,$ $d=0$ et $b$ infiniment petit ($a$ étant toujours supposé nul), on verra que les fonctions qui représentent la seconde, la troisième et la quatrième racine de l’équation proposée doivent devenir les racines de l’équation

$-b+ex^{3}=0,$

et ainsi de suite.

En procédant de la même manière, on prouvera aussi que la troisième et la quatrième racine de l’équation proposée doivent être exprimées par des fonctions telles, qu’en y supposant d’abord $a=0,$ $b=0,$ et ensuite $d=0$ et $c$ infiniment petit, elles deviennent les racines de l’équation

$c+ex^{2}=0,$

et ainsi des autres.

Cette méthode de distinguer les racines d’une équation est plus générale que celle du n^o 24, laquelle ne saurait être employée dans bien des cas, surtout lorsqu’il manque dans l’équation quelqu’un des termes intermédiaires, parce qu’alors l’évanouissementd’une seule lettre fait évanouir plusieurs racines à la fois, comme nous venons de le voir.

Après ces réflexions sur la manière de distinguer les différentes racines d’une équation, voyons la méthode qu’on peut employer pour les trouver ; pour la faire mieux comprendre, nous l’appliquerons d’abord aux équations que nous avons déjà examinées dans le § III.

Problème I.

27. On demande les deux racines de l’équation

$a-bx+cx^{2}=0.$

Première Solution. — Nous avons déjà trouvé, dans le n^o 9, que l’une des valeurs de $x$ peut s’exprimer par cette série

${\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}+\ldots \,;$

or, avant de chercher l’autre valeur, il est bon d’examiner quelle est la