Ainsi la fonction
deviendra, après les deux substitutions dont il s’agit,
![{\displaystyle {\begin{aligned}u+&u'\xi +u^{\ ,'}\psi \\+&{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}\,+{\frac {u^{','}\xi \psi }{1.1}}\ \ +{\frac {u^{\ ,''}\psi ^{2}}{2}}\\+&{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{'','}\xi ^{2}\psi }{2.1}}+{\frac {u^{',''}\xi \psi ^{2}}{1.2}}+{\frac {u^{\ ,'''}\psi ^{3}}{2.3}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c65ada3c4fb3b5b04a9f2b90a0031c027885b2)
Les accents qui sont avant la virgule se rapportent au changement de
en
et ceux qui sont après la virgule se rapportent au changement de
en ![{\displaystyle y+\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263fa3415cc20654db74fd45eb96ca8810def68f)
En général, si
est une fonction de
et qu’on y mette, à la place de ces variables,
la fonction dont il s’agit deviendra
plus un nombre indéfini de termes, tels que
![{\displaystyle {\frac {u^{(\mu ),(\nu ),(\varpi ),(\rho ),\ldots }\xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c859b58dba19b63bca535053b120ee2b40cb16fc)
étant supposés successivement ![{\displaystyle 0,1,2,3,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84408e9742cc9e3102a368235e7b389b078dbc2)
6. Puisqu’en mettant
à la place de
dans
cette fonction devient
![{\displaystyle u+u'\xi +{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}+{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6833d697c024a5149f61e994205604ea5922fe5c)
si l’on regarde
comme infiniment petit et qu’on néglige les puissances
on aura simplement
pour l’accroissement de
de sorte que, désignant cet accroissement par
et l’accroissement
de
par
on aura
![{\displaystyle du=u'dx\quad {\text{et}}\quad u'={\frac {du}{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3defb318fcf0d3c59d73c17a35f76b73e2b8fb1)
ainsi, pour avoir la fonction
il n’y aura qu’à chercher li différentielle
par les règles du calcul des infiniment petits, et la diviser ensuite par la différentielle ![{\displaystyle dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193b60190b80267ed42a2813eecd024414c10c92)