Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/448

Ayant $u'={\frac {du}{dx}},$ on aura de même

$u''={\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{dx}}={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},\quad u'''={\frac {d{\cfrac {d^{2}u}{dx^{2}}}}{dx}}={\frac {d^{3}u}{dx^{3}}},\ldots \,;$

de sorte que $x$ devenant $x+\xi ,$ la fonction $u$ deviendra

$u+{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}{\frac {\xi ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}{\frac {\xi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

où $du,d^{2}u,d^{3}u,\ldots$ désignent les différences première, seconde, troisième, etc., de $u$ prises en faisant varier $x$ de la différence infiniment petite $dx.$

Ce Théorème est connu depuis longtemps, et M. Taylor en est, si je ne me trompe, le premier Auteur ; on peut le démontrer de différentes manières la précédente me paraît une des plus simples.

7. Si, au lieu de faire varier $x,$ on fait varier $y$ dans la supposition que $u$ soit une fonction de $x$ et de $y,$ on aura de même

$du=u'dy,$

et de là

$u'={\frac {du}{dy}},$

donc

$u''={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}},\quad u'''={\frac {d^{3}u}{dy^{3}}},\ldots .$

Par le même principe on aura

$u^{','}={\frac {du'}{dy}}={\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{dy}}={\frac {d^{2}u}{dxdy}},$

où $d^{2}u$ indique la différentielle seconde de $u,$ en faisant varier d’abord $x,$ ensuite $y\,;$ or, comme les variations de $x$ et de $y$ sont indépendantes l’une de l’autre, il est facile de comprendre qu’on aura également

$u^{','}={\frac {du'}{dx}}={\frac {d{\cfrac {du}{dy}}}{dx}}={\frac {d^{2}u}{dydx}},$