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où $d^{2}u$ exprime maintenant la différentielle seconde de $u$ prise en faisant varier d’abord $y$ et ensuite $x,$ de sorte qu’on aura

${\frac {d^{2}u}{dxdy}}={\frac {d^{2}u}{dydx}},$

ce qui montre qu’il est indifférent dans quel ordre soient écrites les différences $dx,dy.$ En général donc on aura

$u^{(\mu ),(\nu )}={\frac {d^{\mu +\nu }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }}},$

où $d^{\mu +\nu }u$ indiquera la différentielle $(\mu +\nu )$^ième de $u$ prise en faisant varier $\mu$ fois $x$ et $\nu$ fois $y,$ quelque ordre qu’on suive d’ailleurs dans ces variations de sorte qu’il y aura autant de manières différentes de trouver la valeur de ${\frac {d^{\mu +\nu }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }}}$ qu’il y aura de permutations entre deux choses différentes répétées l’une $\mu ,$ fois, l’autre $\nu$ fois ; or le nombre de ces permutations est, comme on sait, égal à

${\frac {1.2.3\ldots (\mu +\nu )}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu }}.$

Et si $u$ est une fonction de plusieurs variables $x,y,z,t,\ldots ,$ on aura

$u^{(\mu ),(\nu ),(\varpi ),(\rho ),\ldots }={\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},$

et cette fonction pourra se produire d’autant de manières différentes qu’il y aura de permutations entre différentes choses dont l’une serait répétée $\mu$ fois, l’autre $\nu$ fois, la troisième $\varpi$ fois, la quatrième $\rho$ fois, etc. ; en sorte que par les règles connues le nombre dont il s’agit sera

${\frac {1.2.3.4.5\ldots (\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots )}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }},$

lequel est aussi le coefficient du terme $x^{\mu }y^{\nu }z^{\varpi }t^{\rho }\ldots$ dans la puissance

$(x+y+z+t+\ldots )^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }$