8. De là et de ce qu’on a dit dans le no 5 il s’ensuit que, si dans une fonction
d’un nombre quelconque de variables
on met
à la place de ces variables, la fonction proposée sera augmentée d’un nombre indéfini de termes représentés chacun par
![{\displaystyle {\frac {\xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }\ldots }{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }}\times {\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3707e4c43fb53413140ec879e98201aae9cbafa)
ou, ce qui revient au même, par
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} \xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }\ldots }{1.2.3\ldots \left(\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots \right)}}\times {\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd4e1add0381f6fc08dcfe7aa536beb7164e27b)
étant le coefficient du terme
dans le polynôme
![{\displaystyle x+y+z+t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17475d3518ad03b37b245cd69ff83451e9f926f0)
élevé à la puissance
![{\displaystyle \mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1bf54f99ab3f4bf6970c21aa61a01809b97c09)
Ainsi, pour avoir aisément les différents termes qui doivent composer l’accroissement de la valeur de la fonction
lorsque
deviennent
il n’y aura qu’à considérer la série
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x+y+z+t+\ldots }{1}}\\+&{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{2}}{1.2}}\\+&{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{3}}{1.2.3}}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3a682c311a93269e7a83b04f3ce331b1cb0775)
et, après avoir développé les puissances de
on changera, dans chaque terme,
en
en
en
en
et l’on multipliera le même terme par
l’exposant de la différentiation
étant égal à la somme des exposants de
dans le même terme.