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Seconde Solution. — Je fais $x^{2}=t,$ et par conséquent $x={\sqrt {t}},$ ce qui réduit l’équation proposée à celle-ci

$a+ct-b{\sqrt {t}}=0,$

laquelle peut se comparer de nouveau avec celle du n^o 12, en y changeant $b$ en $c,$ $c$ en $-b,$ $x$ en $t,$ et faisant $n={\frac {1}{2}}\,;$ ainsi, faisant pour plus de simplicité ${\sqrt {\frac {-a}{c}}}=\rho ,$ on aura

${\begin{aligned}t^{m}=&\rho ^{2m}-2m\rho ^{2m+1}\left({\frac {b}{2a}}\right)+{\frac {2m.2m}{2}}\rho ^{2m+2}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\&-{\frac {2m(2m-1)(2m+1)}{2.3}}\rho ^{2m+3}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{3}\\&+{\frac {2m(2m-2)(2m)(2m+2)}{2.3.4}}\rho ^{2m+4}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{4}\\&-{\frac {2m(2m-3)(2m-1)(2m+1)(2m+3)}{2.3.4.5}}\rho ^{2m+5}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{5}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Or, $x$ étant égal à ${\sqrt {t}},$ il n’y aura qu’à faire $m={\frac {1}{2}}$ pour avoir

$x=\rho -\rho ^{3}\left({\frac {b}{2a}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho ^{3}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {1.1.3}{2.3.4}}\rho ^{5}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{4}+{\frac {1.1.3.3.5}{2.3.4.5.6}}\rho ^{7}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{6}-\ldots .$

Mais, puisque $\rho ={\sqrt {\frac {-a}{c}}},$ il est clair que la valeur de $\rho$ sera également positive et négative ; de sorte qu’en substituant cette valeur on aura pour $x$ la double série

${\frac {b}{c}}\pm \left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}}{4ac}}-{\frac {1.1.3}{2.3.4}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}-{\frac {1.1.3.3.5}{2.3.4.5.6}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}-\ldots \right){\sqrt {\frac {-a}{c}}},$

laquelle représentera par conséquent les deux racines de l’équation

$a-bx+cx^{2}=0.$

En effet, en faisant $b=0,$ les deux séries se réduisent à

$\pm {\sqrt {\frac {-a}{c}}}\,;$