Seconde Solution. — Je fais
et par conséquent
ce qui réduit l’équation proposée à celle-ci
![{\displaystyle a+ct-b{\sqrt {t}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d659ca3f3259119283cbac516cc9e3fd8d210e70)
laquelle peut se comparer de nouveau avec celle du no 12, en y changeant
en
en
en
et faisant
ainsi, faisant pour plus de simplicité
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}t^{m}=&\rho ^{2m}-2m\rho ^{2m+1}\left({\frac {b}{2a}}\right)+{\frac {2m.2m}{2}}\rho ^{2m+2}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\&-{\frac {2m(2m-1)(2m+1)}{2.3}}\rho ^{2m+3}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{3}\\&+{\frac {2m(2m-2)(2m)(2m+2)}{2.3.4}}\rho ^{2m+4}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{4}\\&-{\frac {2m(2m-3)(2m-1)(2m+1)(2m+3)}{2.3.4.5}}\rho ^{2m+5}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{5}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107e18ad15928d3c8e825b7d17d41e794c4201a7)
Or,
étant égal à
il n’y aura qu’à faire
pour avoir
![{\displaystyle x=\rho -\rho ^{3}\left({\frac {b}{2a}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho ^{3}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {1.1.3}{2.3.4}}\rho ^{5}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{4}+{\frac {1.1.3.3.5}{2.3.4.5.6}}\rho ^{7}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{6}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c056d758cdc9a02fce1279d031afccba575b92a1)
Mais, puisque
il est clair que la valeur de
sera également positive et négative ; de sorte qu’en substituant cette valeur on aura pour
la double série
![{\displaystyle {\frac {b}{c}}\pm \left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}}{4ac}}-{\frac {1.1.3}{2.3.4}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}-{\frac {1.1.3.3.5}{2.3.4.5.6}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}-\ldots \right){\sqrt {\frac {-a}{c}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b109215e066688bba06c6900356f5122020447ad)
laquelle représentera par conséquent les deux racines de l’équation
![{\displaystyle a-bx+cx^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7825f355a73a0db23a31cc2402d45a685dbb7e1)
En effet, en faisant
les deux séries se réduisent à
![{\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-a}{c}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee040c2f338cb7b9f94b5bab2f8d3e6294d032a6)