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donc, changeant la caractéristique $\Delta$ en $d,$ on aura l’équation

${\begin{aligned}u+m&du+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}u}{2.3}}+\ldots \\=\varphi &\left(x+mdx+{\frac {m^{2}d^{2}x}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}x}{2.3}}+\ldots \right.,\\&\ \ y+mdy+{\frac {m^{2}d^{2}y}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}y}{2.3}}+\ldots ,\\&\ \ z+mdz+{\frac {m^{2}d^{2}z}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}z}{2.3}}+\ldots ,\\&\ \ {\Bigl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\Bigr )},\end{aligned}}$

Ainsi, si l’on développe la fonction $\varphi (\ldots )$ suivant les puissances de $m,$ en sorte qu’il en résulte une série de cette forme

$\mathrm {P} +m\mathrm {Q} +m^{2}\mathrm {R} +m^{3}\mathrm {S} +\ldots ,$

on aura

$u=\mathrm {P} ,\quad du=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {d^{2}u}{2}}=\mathrm {R} ,\quad {\frac {d^{3}u}{2.3}}=\mathrm {S} ,\ldots .$

Par où l’on voit comment on peut trouver sur-le-champ toutes les différentielles de $u\,;$ c’est ce que nous allons éclaircir par quelques Exemples.

19. Supposons que $u$ soit une fonction de $x$ seul, et que $dx$ soit supposé constant, on aura donc dans ce cas l’équation $u=\varphi (x)$ et

$u+mdu+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}u}{2.3}}+\ldots =\varphi (x+mdx),$

de sorte qu’il ne s’agira que de développer la quantité $\varphi (x+mdx)$ suivant les puissances de $m.$

Soit, par exemple,

$\varphi (x)=(a+bx)^{r},$

on aura

${\begin{aligned}\varphi (x+mdx)=&(a+bx+mbdx)^{r}\\=&(a+bx)^{r}+mrb(a+bx)^{r-1}dx+m^{2}{\frac {r(r-1)b^{2}}{2}}(a+bx)^{r-2}dx^{2}\\&+m^{3}{\frac {r(r-1)(r-2)b^{3}}{2.3}}(a+bx)^{r-3}dx^{3}+\ldots \,;\end{aligned}}$