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donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de $m,$

${\begin{aligned}u&=(a+bx)^{r},\\du&=rb(a+bx)^{r-1}dx,\\d^{2}u&=r(r-1)b^{2}(a+bx)^{r-2}dx^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$d^{\lambda }=r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)b^{\lambda }(a+bx)^{r-\lambda }dx^{\lambda }.$

On remarquera ici, et la même remarque aura toujours lieu dans les cas semblables, que puisque l’on a l’expression générale de la différentielle de l’ordre $\lambda ,$ on pourra, en faisant $\lambda$ négatif, avoir celle de l’intégrale du même ordre $\lambda \,;$ ainsi l’on aura

$\int ^{\lambda }u=r(r-1)(r-2)\ldots (r+\lambda +1){\frac {(a+bx)^{r+\lambda }}{b^{\lambda }dx^{\lambda }}}\,;$

or comme les facteurs $r,\ r-1,\ r-2,\ldots$ vont en diminuant, et que le dernier doit être $r+\lambda +1$ qui est au contraire plus grand que $r,$ cela indique qu’il faut continuer la série de ces facteurs du côté opposé, en employant les divisions au lieu des multiplications, de cette manière

${\frac {1}{(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+\lambda )}}\,;$

on aura donc en multipliant par $dx^{\lambda }$

$\int ^{\lambda }udx={\frac {(a+bx)^{r+\lambda }}{(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+\lambda )b^{\lambda }}}\,;$

ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.

20. Dans le cas de l’Exemple précédent, il aurait été facile de trouver la valeur générale de $d^{\lambda }u$ par la méthode ordinaire des différentiations, mais il n’en serait pas de même si la fonction $\varphi (x)$ était tant soit peu plus compliquée.