donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=(a+bx)^{r},\\du&=rb(a+bx)^{r-1}dx,\\d^{2}u&=r(r-1)b^{2}(a+bx)^{r-2}dx^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee13ab5dde9cfae9f25b4c7c6bcd98f2869b477)
et, en général,
![{\displaystyle d^{\lambda }=r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)b^{\lambda }(a+bx)^{r-\lambda }dx^{\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e932011a91873d971a5aad9924db0e4a073f2ea7)
On remarquera ici, et la même remarque aura toujours lieu dans les cas semblables, que puisque l’on a l’expression générale de la différentielle de l’ordre
on pourra, en faisant
négatif, avoir celle de l’intégrale du même ordre
ainsi l’on aura
![{\displaystyle \int ^{\lambda }u=r(r-1)(r-2)\ldots (r+\lambda +1){\frac {(a+bx)^{r+\lambda }}{b^{\lambda }dx^{\lambda }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ed91a42c990b43329588cc41edeb20d27957ca)
or comme les facteurs
vont en diminuant, et que le dernier doit être
qui est au contraire plus grand que
cela indique qu’il faut continuer la série de ces facteurs du côté opposé, en employant les divisions au lieu des multiplications, de cette manière
![{\displaystyle {\frac {1}{(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+\lambda )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3811dd3a6cb4641e2c0519e7b168bb8847979468)
on aura donc en multipliant par ![{\displaystyle dx^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44aa221387b9898cd14d87e8dd81d1f6a8068f5d)
![{\displaystyle \int ^{\lambda }udx={\frac {(a+bx)^{r+\lambda }}{(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+\lambda )b^{\lambda }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b0214d90ed2404d20d40e99a9a2a2e6df14ff9)
ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.
20. Dans le cas de l’Exemple précédent, il aurait été facile de trouver la valeur générale de
par la méthode ordinaire des différentiations, mais il n’en serait pas de même si la fonction
était tant soit peu plus compliquée.