et les trois formules différentielles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2{\frac {\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}{1-(1-m)u^{2}}}u^{2}\cos qdpdq,\\&2{\frac {\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}{1-(1-m)u^{2}}}u^{2}\sin qdpdq,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e18fa2ad6ae5b8585a3c230be28c24f1ac8b42)
[1].
Or comme l’équation
![{\displaystyle k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5992161179ae1a25274f5f996cf297ae61e4f3e4)
donne
![{\displaystyle u=\pm {\sqrt {\frac {k}{k-mk+mc^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7608b620e561ed867b522a2a7abf32bca161b8c9)
il s’ensuit que les intégrations relatives à l’angle
devront s’étendre depuis
jusqu’à
en prenant
![{\displaystyle \alpha =\operatorname {arc} \,\sin {\sqrt {\frac {k}{k-mk+mc^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce918bb6ac7b67154bf19e65bd2c644a7f0898a3)
D’où il est facile de conclure d’abord que l’intégrale complète de la quantité
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}{1-(1-m)u^{2}}}u^{2}dp}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5f05401e76742fa2391fda0c0408419c03c3c2)
sera nulle ; car si l’on dénote par
l’intégrale de cette quantité prise depuis
jusqu’à
il est clair que l’intégrale de la même quantité depuis
jusqu’à
sera égale à
puisque
conserve la même valeur en prenant
négatif ; or il est visible que l’intégrale depuis
jusqu’à
n’est autre chose que la somme des deux précédentes, c’est-à-dire ![{\displaystyle \mathrm {A-A} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47106d553bf18920fa6c1ffafcbcbc5f8cfa0dc1)
Donc l’intégrale de chacune des deux premières formules différentielles sera nulle ; par conséquent l’attraction perpendiculaire à l’axe de révolution dans lequel est prise l’ordonnée
sera nulle ; ce qui est d’ailleurs évident de soi-même.
- ↑ Le facteur
qui figure dans ces formules et dans celles qui en résultent par l’intégration, est omis dans le texte primitif ; nous avons cru devoir le rétablir ici.
(Note de l’Éditeur.)