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$\varphi (x),$ et nullement de ceux qui appartiennent à la fonction $\psi (x),$ et qui sont $\mathrm {F} ,f,\ldots$ il s’ensuit que si la série qui exprime la valeur d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\alpha }}$ est convergente, elle le sera aussi pour toute autre fonction de ${\frac {x}{\alpha }}.$

42. Au reste, il est bon de remarquer que, quoique les coefficient $\mathrm {A} ,$$\mathrm {B,C} ,\ldots$ puissent être positifs ou négatifs, ainsi que la quantité $\alpha \,;$ cependant, comme il ne s’agit ici que de la valeur absolue de la quantité (37)

${\frac {(u+f)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times }}\mathrm {F} \mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i},$

il est indifférent de les prendre positivement ou négativement ; ainsi, pour éviter les imaginaires dans la valeur de $\mathrm {N} ,$ nous supposerons que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,$ soient pris positivement, à cause que $\mu ,\nu ,$ $\pi ,\ldots$ doivent être positifs par leur nature, et à l’égard de nous supposerons qu’il soit pris en sorte que ${\frac {\upsilon \alpha }{\upsilon -1}}$ soit positif ; par ce moyen, quels que soient les nombres $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots ,\upsilon ,$ la valeur de $\mathrm {N}$ sera toujours sous une forme réelle.

43. Supposons que la fonction $\varphi (x)$ ne renferme qu’un seul terme $\mathrm {A} x^{a},$ en sorte que l’équation soit

$\alpha -x+\mathrm {A} x^{a}=0,$

dans ce cas on aura

$\mathrm {N} =\upsilon \left({\frac {\upsilon \alpha }{\upsilon -1}}\right)^{\upsilon -1}\left({\frac {\mathrm {A} }{\mu }}\right)^{\mu }$

et

$\mu =1,\quad a\mu =\upsilon \,;$

donc

$\mu =1,\quad \upsilon =a\,;$

donc

$\mathrm {N} =a\left({\frac {\alpha a}{a-1}}\right)^{a-1}\mathrm {A} \,;$

donc la série sera convergente si l’on a

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\frac {1}{a}}\left({\frac {a-1}{\alpha a}}\right)^{a-1}.$