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Ce cas est celui du Problème II, § III ; or, dans la première Solution, on a d’abord

$\alpha ={\frac {a}{b}},\quad \mathrm {A} ={\frac {c}{b}},\quad a=n\,;$

donc la première série de cette Solution, c’est-à-dire celle qui se rapporte à la première racine, sera convergente si l’on a

${\frac {c}{b}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{n}}\left[{\frac {(n-1)b}{an}}\right]^{n-1},$

c’est-à-dire (abstraction faite des signes)

${\frac {a^{n-1}c}{b^{n}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\frac {(n-1)^{n-1}}{n^{n}}},$

en prenant $a,b$ et $c$ positivement.

Soit $n=2,$ on aura cette condition

${\frac {ac}{b^{2}}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{2^{2}}},$

c’est-à-dire $b^{2}=$ ou $>4ac\,;$ or, c’est précisément la condition qui rend convergente la série provenant du développement du radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}},$ et qui est la même que celle que nous avons trouvée par notre méthode (9).

Dans la seconde série de la même Solution, on a, en comparant l’équation

${\frac {b}{c}}-t-{\frac {a}{c}}t^{\frac {1}{1-n}}=0$

à la formule générale ci-dessus,

$\alpha ={\frac {b}{c}},\quad \mathrm {A} =-{\frac {a}{c}},\quad a={\frac {1}{1-n}}\,;$

donc là condition de la convergence de cette série sera (abstraction faite des signes)

${\frac {a}{c}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <(1-n)\left({\frac {nc}{b}}\right)^{\frac {n}{1-n}},$