Car soit par exemple
on fera
![{\displaystyle s=mx+s',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ccb97d5351ba61144a3ce9e021cba1624c82cc)
et la formule proposée deviendra
![{\displaystyle \left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)x^{2}+(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )xs'+\mathrm {L} s'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73023135439d89fea8862fa342bf7283a26369e)
ou bien, en changeant
en ![{\displaystyle x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d157cc2c35e9b7faa3c634b3155e12ef4a9476)
![{\displaystyle \mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b4a373547cbcee71b37d86470d40e3699f62df)
où l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} '\,=&\mathrm {L} ,\\\mathrm {M} '=&2\mathrm {L} m+\mathrm {M} ,\\\mathrm {N} '\,=&\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09ee677a6c24f126f8074c48af36f7866578e54)
de sorte qu’on aura d’abord, quel que soit le nombre ![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
![{\displaystyle \mathrm {4L'N'-M'^{2}=4L} \left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)-(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )^{2}=\mathrm {4LN-M^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da78ecfdc881ff041b03ebb1952b5717c2de615)
Or, puisque
est moindre que
(hypothèse), il est clair qu’on peut déterminer le nombre
en sorte que
devienne moindre que
donc, etc.
6. Corollaire I. — Donc, si dans la transformée
![{\displaystyle \mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b4a373547cbcee71b37d86470d40e3699f62df)
l’un des nombres
ou
est moindre que
on pourra parvenir à une autre transformée telle que
![{\displaystyle \mathrm {L} ''s''^{2}+\mathrm {M} ''s''x''+\mathrm {N} ''x''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd7d75531adc783694dca138e79c04af00dd7b9)
dans laquelle on aura pareillement
![{\displaystyle \mathrm {4L''N''-M''^{2}=4L'N'-M'^{2}=4LN-M^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d443054b6439eca55d343efcf435410e17f02fce)
et où
sera plus petit que
et ainsi de suite ; donc, comme la série des nombres
![{\displaystyle \mathrm {M,M',M''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f9d085a57aa2692dea1bfc9dad12a4ced4bbbd)