carré et d’un triple carré premiers entre eux, est aussi la somme d’un carré et d’un triple carré.
Au reste, comme il suffit de considérer les diviseurs impairs, nous ferons toujours abstraction, dans la suite, des formules qui ne pourraient convenir qu’à des diviseurs pairs ; c’est pourquoi nous rejetterons toutes les valeurs de
et
qui seraient paires à la fois.
IV. Soit
donc
non plus grand que
donc
ou
Faisant
on a
donc
![{\displaystyle p=1,\quad r=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d355a30eebde18914f3fa7a836577e7efc6a4c84)
(car nous rejetons les valeurs
parce qu’elles sont toutes deux paires) ; faisant
on a
donc
![{\displaystyle p=1,\quad r=5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bd1892c7c9782342cd7e9d49aa21009aa4872e)
ce qui doit être rejeté à cause que
serait ![{\displaystyle <2q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc59da5ca94bffb3b12d9146be2585a7f2ebff92)
Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
![{\displaystyle t^{2}+4u^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307872619dc23b5665760710df718e09c2a68867)
seront aussi de la forme
![{\displaystyle y^{2}+4z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2446b1e1a021904daae14f969ce5b7aa488c7c)
V. Soit
donc
non plus grand que
donc
ou
Faisant
on a
donc
![{\displaystyle p=2,\quad r=5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ab1156336e96ae6fbe74968050f392c11c7c17)
et faisant
on a
donc
![{\displaystyle p=2,\quad r=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84057b00f7d9576fde2fc0833faad222eb430ff)
Donc les diviseurs des nombres de la forme
![{\displaystyle t^{2}+5u^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6d9d7205726881daca23ba38d42d160b1dda36)
sont nécessairement de l’une ou de l’autre de ces formes-ci
![{\displaystyle y^{2}+5z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dd3a990d9a5f9b4bf0da825e58f2370d3520e0)