ainsi la difficulté consiste à déterminer, s’il est possible, les nombres
en sorte qu’on ait
![{\displaystyle \mathrm {PR+Q^{2}} =a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1a52be15b45cc10de21ac195de0954a8963cff)
et qu’en même temps ni
ni
ne soient
abstraction faite des signes de
et ![{\displaystyle \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be30d6add602e05f39858715ffff7116c759c1fc)
Je remarque d’abord que la quantité
devient, en mettant à la place de
et
leurs valeurs,
![{\displaystyle \left(pr+q^{2}\right)(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}=a(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af06c69889afc004a5ef46da1113307289b93662)
donc il faudra qu’on ait comme dans le Problème précédent
![{\displaystyle (\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9d9d9b23c672e49c2c2465fbfa641f1023f235)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fcd60f2289620c265f81e267cea06b134f8d48)
Comme
sont supposés des nombres entiers, il est clair que cette équation ne saurait subsister à moins que les produits
et
ne soient de mêmes signes ; de sorte que si
et
sont de mêmes signes, il faudra que
et
en soient aussi.
Or, puisqu’on peut donner aux nombres indéterminés
et
tels signes que l’on veut, il est évident qu’on peut, sans nuire à la généralité du Problème, prendre toujours les nombres
et
positifs ; et alors il faudra prendre les nombres
et
de mêmes signes, c’est-à-dire tous les deux positifs ou tous les deux négatifs ; ainsi il n’y aura qu’à mettre
et
à la place de
et
ou, ce qui revient au même, il n’y aura qu’à donner le signe ambigu
à la quantité
c’est-à-dire prendre la valeur de cette quantité en plus et en moins ; moyennant quoi on pourra regarder les quatre nombres
comme positifs.
Maintenant il est clair que si
n’est ni
ni
comme on le suppose,
sera toujours moindre que
de sorte que
ne pourra être égal à un nombre positif, à moins que
ne soit un nombre positif ; d’où il s’ensuit qu’il faut nécessairement que
et
soient de même signe ; et cette condition suffit, comme nous l’allons voir, pour faire trouver les nombres